Exercises for Trigonometry: 1. Write down a pair of numbers that can be values of the sine and cotangent of the same

Золотой_Орел_9466

57

1. Чтобы найти пару чисел, которые могут быть значениями синуса и котангенса одного и того же угла, нужно использовать связь между этими функциями. Для каждой пары чисел проверим, выполняется ли эта связь.

a) -3 и 0.25:
Для котангенса угла равного \(0.25\) мы можем использовать следующую формулу:
\[\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\]
Подставляя значение котангенса, получаем:
\[\cot(x) = \frac{1}{0.25} = 4\]

Теперь проверим, выполняется ли связь с синусом:
\[\sin(x) = \sqrt{1 - \cos^2(x)}\]
\[\sin(x) = \pm \sqrt{1 - (\cos^2(x))}\]

Мы видим, что \(-3\) не может быть значением синуса, так как синус является функцией, возвращающей только значения от \(-1\) до \(1\). Таким образом, пара чисел (-3 и 0.25) не может быть значениями синуса и котангенса одного и того же угла.

b) 4 и 0.25:
Применяем аналогичные действия:

\[\cot(x) = \frac{1}{0.25} = 4\]

И проверяем синус:
\[\sin(x) = \pm \sqrt{1 - (\cos^2(x))}\]

4 может быть значением синуса, поэтому эта пара чисел (4 и 0.25) может быть значениями синуса и котангенса одного и того же угла.

c) 2 и 2:
Аналогично:

\[\cot(x) = \frac{1}{2} = 0.5\]

И проверяем синус:
\[\sin(x) = \pm \sqrt{1 - (\cos^2(x))}\]

2 не может быть значением синуса, поэтому эта пара чисел (2 и 2) не может быть значениями синуса и котангенса одного и того же угла.

Таким образом, только пара чисел (4 и 0.25) может быть значениями синуса и котангенса одного и того же угла.

2. Найдите пару чисел, которые могут быть значениями синуса и косинуса одного и того же угла:

a) 0.9 и 0:
Синус угла не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому пара чисел (0.9 и 0) не может быть значениями синуса и косинуса одного и того же угла.

b) 1 и 0:
1 и 0 могут быть значениями синуса и косинуса, потому что синус угла может быть равным 1, а косинус - 0, когда угол равен \(90^\circ\).

Таким образом, только пара чисел (1 и 0) может быть значениями синуса и косинуса одного и того же угла.

3. Найдем значение выражения \(\sin^2(a) + \cos^2(c) + 5\):

Нам известно, что любое значение синуса или косинуса возведенное в квадрат будет равно единице (так как \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)). Также, значение косинуса может быть принято от -1 до 1.

Значение \(\sin^2(a)\) будет равно 1, так как это квадрат значения синуса.
Значение \(\cos^2(c)\) также будет равно 1, так как это квадрат значения косинуса.

Подставляем значения и считаем:

\(\sin^2(a) + \cos^2(c) + 5 = 1 + 1 + 5 = 7\)

Таким образом, значение выражения \(\sin^2(a) + \cos^2(c) + 5\) равно 7.

4. Упростим выражение \(\tan(a) \cdot \cot(a) - \sin(a)\):

Нам известно, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\), поэтому можем записать:

\(\tan(a) \cdot \cot(a) - \sin(a) = \tan(a) \cdot \frac{1}{\tan(a)} - \sin(a) = 1 - \sin(a)\)

Таким образом, выражение \(\tan(a) \cdot \cot(a) - \sin(a)\) можно упростить до \(1 - \sin(a)\).

5. Найдем значение выражения \(\sin(x) \cdot \tan(x) \cdot \cot(x)\), если \(\cos(c) = -1\):

Мы можем использовать тригонометрические формулы для связи между синусом, косинусом и тангенсом:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\)

\(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\)

Мы знаем, что \(\cos(c) = -1\), поэтому:

\(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{-1} = -\sin(x)\)

Теперь подставляем значение тангенса и находим значение выражения:

\(\sin(x) \cdot \tan(x) \cdot \cot(x) = \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \cdot \frac{1}{\tan(x)} = -\sin^2(x) \cdot \frac{1}{-\sin(x)} = -\sin(x)\)

Таким образом, значение выражения \(\sin(x) \cdot \tan(x) \cdot \cot(x)\), при условии \(\cos(c) = -1\), равно \(-\sin(x)\).

6. Для доказательства фигуры вам необходимо предоставить информацию о ней. Можете ли вы описать фигуру, или предоставить картинку или указать ее свойства? Тогда я смогу помочь вам с доказательством.