1. Цилиндр имеет высоту 5 см и площадь его полной поверхности равна 132π квадратных сантиметров. а) Найдите площадь

Solnechnyy_Svet

69

1. а) Чтобы найти площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси, нам необходимо знать радиус цилиндра. Воспользуемся формулой для площади поверхности цилиндра:
\[2\pi r(r + h)\],
где \(r\) - радиус цилиндра, \(h\) - высота цилиндра.

Мы знаем, что площадь полной поверхности цилиндра равна 132π кв. см. Таким образом, у нас есть уравнение:
\[2\pi r(r + 5) = 132\pi\].

Разделим оба выражения на \(2\pi\) и решим получившееся квадратное уравнение:
\[r(r + 5) = 66\].
\[r^2 + 5r - 66 = 0\].

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Решение этого уравнения дает нам два значения для \(r\): \(r = -11\) и \(r = 6\). Так как радиус не может быть отрицательным, мы выбираем положительное значение \(r = 6\).

Таким образом, радиус цилиндра равен 6 см. Теперь мы можем найти площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси, используя формулу для площади окружности:
\[S = \pi r^2\].
Подставляя значение радиуса, получаем:
\[S = \pi \cdot 6^2 = 36\pi\].

Таким образом, площадь сечения цилиндра, проведенного параллельно его оси, равна \(36\pi\) кв. см.

б) Чтобы найти площадь поперечного сечения цилиндра, разделяющего боковую поверхность в соотношении 1:5, мы можем использовать пропорцию между площадью сечения и площадью боковой поверхности цилиндра.

Пусть \(x\) - площадь поперечного сечения. Тогда боковая поверхность цилиндра будет состоять из 6 секций данного поперечного сечения. По условию, площадь поперечного сечения делится на 1:5, то есть \(x\) и \(5x\) будут площадями этих секций.

Тогда мы можем записать уравнение:
\[x + 5x + 5x + 5x + 5x + 5x = 132\pi\].
\[21x = 132\pi\].
\[x = \frac{132\pi}{21}\].
\[x = \frac{44\pi}{7}\].

Таким образом, площадь поперечного сечения цилиндра, разделяющего его боковую поверхность в соотношении 1:5, равна \(\frac{44\pi}{7}\) кв. см.

2. Чтобы найти площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника, нам понадобится знать длину его более длинной стороны. В данном случае, это сторона длиной 17 см.

Когда треугольник вращается вокруг более длинной стороны, он создает конус. Площадь поверхности конуса вычисляется с использованием формулы:
\[S = \pi r(r + l)\],
где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Для нахождения радиуса основания конуса, мы можем использовать половину длины стороны треугольника, равной 17 см, так как треугольник делится на равные части во время вращения. Таким образом, \(r = \frac{17}{2} = 8.5\) см.

Теперь нам нужно найти образующую конуса. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
\[9^2 + 10^2 = l^2\].
\[81 + 100 = l^2\].
\[181 = l^2\].

Извлекая квадратный корень, мы получаем \(l = \sqrt{181}\) см.

Теперь мы можем подставить значения радиуса и образующей конуса в формулу для площади поверхности конуса:
\[S = \pi \cdot 8.5(8.5 + \sqrt{181})\].

Раскрывая скобки, получаем:
\[S = \pi \cdot 8.5 \cdot 8.5 + \pi \cdot 8.5 \cdot \sqrt{181}\].

Выполняем вычисления:
\[S \approx 227.52 + 101.51\].

Таким образом, площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника, составляет около 329.03 кв. см