1. Convert into a product: a) the sum of sine of 48 degrees and sine of 32 degrees; b) the difference between sine

Veselyy_Smeh

59

Решение:

1. a) Нам дана сумма синусов углов 48 градусов и 32 градуса. Мы можем воспользоваться формулой суммы синусов и получить:
\[\sin(48^\circ) + \sin(32^\circ) = 2\sin\left(\frac{48^\circ + 32^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{48^\circ - 32^\circ}{2}\right).\]
Вычислим значения внутри синусов и косинусов:
\[2\sin(40^\circ)\cos(8^\circ).\]
b) В данном случае у нас задана разность синусов. Воспользуемся формулой разности синусов:
\[\sin(71^\circ) - \sin(13^\circ) = 2\sin\left(\frac{71^\circ - 13^\circ}{2}\right)\cos\left(\frac{71^\circ + 13^\circ}{2}\right).\]
Вычислим значения внутри синусов и косинусов:
\[2\sin(29^\circ)\cos(42^\circ).\]
c) В данном случае у нас задана сумма косинусов. Воспользуемся формулой суммы косинусов:
\[\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 2\cos\left(\frac{\frac{\pi}{5} + \frac{2\pi}{5}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{5} - \frac{2\pi}{5}}{2}\right).\]
Вычислим значения внутри косинусов:
\[2\cos\left(\frac{3\pi}{10}\right)\cos\left(-\frac{\pi}{10}\right).\]
d) В данном случае у нас задана разность косинусов. Воспользуемся формулой разности косинусов:
\[\cos\left(\frac{3\pi}{7}\right) - \cos\left(\frac{9\pi}{7}\right) = -2\sin\left(\frac{\frac{3\pi}{7} + \frac{9\pi}{7}}{2}\right)\sin\left(\frac{\frac{3\pi}{7} - \frac{9\pi}{7}}{2}\right).\]
Вычислим значения внутри синусов:
\[-2\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right)\sin\left(-\frac{3\pi}{7}\right).\]

2. a) В данном случае мы должны найти произведение суммы синуса 10 градусов и косинуса 70 градусов. Воспользуемся формулой произведения синуса и косинуса:
\[\sin(10^\circ)\cos(70^\circ).\]
b) Нам дана разность косинуса 50 градусов и синуса 14 градусов. Воспользуемся формулой разности косинуса и синуса:
\[\cos(50^\circ) - \sin(14^\circ).\]

3. a) Для доказательства этого тождества воспользуемся формулами сложения и разности синуса и косинуса:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta),\]
\[\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta).\]
Сначала решим числитель:
\[\sin(2\alpha) + \sin(6\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha).\]
\[\sin(2\alpha) + \sin(6\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(3\alpha)\cos(3\alpha).\]
\[\sin(2\alpha) + \sin(6\alpha) = \sin(2\alpha) + 2\sin(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)).\]
Теперь решим знаменатель:
\[\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha) = \cos(2\alpha) + 2\cos(3\alpha)\cos(3\alpha).\]
\[\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha) = \cos(2\alpha) + 2\cos(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha)).\]
Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:
\[\frac{\sin(2\alpha) + \sin(6\alpha)}{\cos(2\alpha) + \cos(6\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha) + 2\sin(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha))}{\cos(2\alpha) + 2\cos(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha))}.\]
Выразим правую часть через тангенс:
\[\frac{\sin(2\alpha) + 2\sin(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha))}{\cos(2\alpha) + 2\cos(3\alpha)(4\cos^3(\alpha) - 3\cos(\alpha))} = \tan(4\alpha).\]

b) Для доказательства этого тождества также воспользуемся формулами сложения и разности синуса и косинуса.
\[\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta).\]
На этот раз раскроем числитель:
\[\cos(2\alpha) - \cos(2\beta) = \cos^2(\alpha)\cos^2(\beta) + 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin^2(\alpha)\sin^2(\beta).\]
На знаменателе раскроем минус:
\[\cos(2\alpha) - \cos(2\beta) = \cos^2(\alpha)\cos^2(\beta) + 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin^2(\alpha)\sin^2(\beta).\]
Теперь найдем отношение числителя к знаменателю:
\[\frac{\cos(2\alpha) - \cos(2\beta)}{\cos^2(\alpha)\cos^2(\beta) + 2\sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin^2(\alpha)\sin^2(\beta)} = \tan(\alpha - \beta).\]