1. Determine the following properties of the function based on its graph: a) the domain of the function; b) the range

Заяц

37

Задача 1. Функцию можно анализировать, изучая ее график. Давайте разберемся с каждым из свойств функции.

а) Область определения функции (domain) - это множество всех значений x, для которых функция определена. Она определяется по всему графику функции. Например, если на графике функции нет никаких разрывов или вертикальных асимптот, то ее область определения будет полной числовой прямой (-∞, +∞).

б) Область значений функции (range) - это множество всех значений y, которые функция принимает. Находим все точки, которые функция достигает на графике.

в) Интервалы возрастания функции (intervals of increasing) - это интервалы x, на которых функция возрастает. Возрастание функции соответствует положительному наклону графика.

г) Интервалы убывания функции (intervals of decreasing) - это интервалы x, на которых функция убывает. Убывание функции соответствует отрицательному наклону графика.

д) Нули функции (zeros) - это значения x, при которых функция принимает значение 0. Находим точки пересечения графика с осью x.

е) Интервалы положительных значений функции - это интервалы x, на которых функция принимает положительные значения (выше оси x на графике).

ж) Интервалы отрицательных значений функции - это интервалы x, на которых функция принимает отрицательные значения (ниже оси x на графике).

з) Максимальное и минимальное значение функции - это наибольшее и наименьшее значение y, которые функция принимает. Находим соответствующие точки на графике.

Задача 2. Найдем нули следующих функций:

а) Чтобы найти нули функции \(y = -0.5x - 20\), мы должны приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение:
\[0 = -0.5x - 20\]
\[0.5x = -20\]
\[x = -\frac{20}{0.5}\]
\[x = -40\]

б) Для функции \(y = 10x(x - 10)\), нам нужно приравнять \(y\) к нулю и решить уравнение:
\[0 = 10x(x - 10)\]
Так как произведение равно нулю, значит, один из множителей должен быть равен нулю:
\[10x = 0 \quad \text{или} \quad x - 10 = 0\]
Отсюда получаем два решения:
\[x = 0\]
\[x = 10\]

в) Функция \(y = -20\) не зависит от переменной \(x\), поэтому она имеет нули только в случае, когда \(y = -20\) при любом \(x\).

Задача 3. Найдем значения \(f(3)\), \(f(-3)\) и \(f(0)\) для функции \(f(x) = 10x\):

\[f(3) = 10 \cdot 3 = 30\]
\[f(-3) = 10 \cdot (-3) = -30\]
\[f(0) = 10 \cdot 0 = 0\]

Я надеюсь, что эти подробные ответы помогут вам понять решение задачи и связанные с ней концепции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать. Я готов помочь!