1. Determine the stationary points of the function: f(x) = x^5/5 - 4/3*x^3 + 9. 2. Find the extrema of the function

Ледяной_Волк

4

Задача 1. Чтобы найти стационарные точки функции \(f(x) = \frac{{x^5}}{{5}} - \frac{{4}}{{3}}x^3 + 9\), мы должны найти значения \(x\), при которых \(f"(x) = 0\), то есть производная функции равна нулю. Для этого посчитаем производную по переменной \(x\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{x^5}}{{5}} - \frac{{4}}{{3}}x^3 + 9\right).\]

Производная этой функции будет равна:

\[f"(x) = \frac{{5x^4}}{{5}} - \frac{{12x^2}}{{3}}.\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):

\[\frac{{5x^4}}{{5}} - \frac{{12x^2}}{{3}} = 0.\]

Упростим это уравнение и приведем его к квадратному виду:

\[x^4 - \frac{{12}}{{3}}x^2 = 0.\]

Используя замену переменной \(u = x^2\), получим:

\[u^2 - \frac{{12}}{{3}}u = 0.\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[u(u - 4) = 0.\]

Так как уравнение является произведением двух множителей, то одно из условий выполнено, если \(u = 0\) или \(u - 4 = 0\). Найдем значения \(x\) для каждого случая:

1) \(u = 0\):
\[x^2 = u = 0 \implies x = 0.\]

2) \(u - 4 = 0\):
\[x^2 = u = 4 \implies x = \pm 2.\]

Таким образом, получаем три стационарные точки функции \(f(x)\): \(x = 0\), \(x = 2\) и \(x = -2\).


Задача 2.

а) Для функции \(f(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17\) нам нужно найти экстремумы. Чтобы найти экстремумы, мы должны найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17).\]

Производная функции будет равна:

\[f"(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x.\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):

\[12x^3 + 12x^2 - 24x = 0.\]

Как мы видим, производная функции является кубическим уравнением. Мы можем факторизовать его, вынести общий множитель:

\[12x(x^2 + x - 2) = 0.\]

Затем факторизуем \(x^2 + x - 2\):

\[12x(x + 2)(x - 1) = 0.\]

Получаем три значения \(x\):
\(x = 0\), \(x = -2\) и \(x = 1\).

Определение экстремума можно провести используя вторую производную. Вычислим вторую производную функции \(f""(x)\):

\[f""(x) = \frac{{d^2}}{{dx^2}}(3x^4 + 4x^3 - 12x^2 + 17).\]

\[f""(x) = 24x^2 + 24x - 24.\]

Подставим найденные ранее значения \(x\) во вторую производную:

Для \(x = 0\):
\[f""(0) = 24 \cdot 0^2 + 24 \cdot 0 - 24 = -24.\]
Так как \(f""(0) < 0\), то точка \(x = 0\) будет являться точкой максимума.

Для \(x = -2\):
\[f""(-2) = 24 \cdot (-2)^2 + 24 \cdot (-2) - 24 = 24 \cdot 4 - 48 - 24 = 96 - 48 - 24 = 24.\]
Так как \(f""(-2) > 0\), то точка \(x = -2\) будет являться точкой минимума.

Для \(x = 1\):
\[f""(1) = 24 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 - 24 = 24 + 24 - 24 = 24.\]
Так как \(f""(1) > 0\), то точка \(x = 1\) будет являться точкой минимума.

Итак, мы нашли экстремумы функции \(f(x)\): точка максимума \(x = 0\) и точки минимума \(x = -2\) и \(x = 1\).


б) Для функции \(f(x) = x^3 + \frac{{3}}{{x}} - 12\) нам также нужно найти экстремумы. Найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(x^3 + \frac{{3}}{{x}} - 12\right).\]

Производная функции будет равна:

\[f"(x) = 3x^2 - \frac{{3}}{{x^2}}.\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):

\[3x^2 - \frac{{3}}{{x^2}} = 0.\]

Упростим уравнение, умножив все слагаемые на \(x^2\):

\[3x^4 - 3 = 0.\]

Мы можем привести к квадратному виду, заменив \(x^2\) на другую переменную \(u\):

\[3u^2 - 3 = 0.\]

Раскроем скобки и приведем слагаемые:

\[3(u + 1)(u - 1) = 0.\]

Получаем два значения \(u\):
\(u = -1\) и \(u = 1\).

Теперь найдем значения \(x\) для каждого значения \(u\):

1) \(u + 1 = 0\):
\[x^2 = u = -1 \implies \text{не имеет действительных корней}.\]

2) \(u - 1 = 0\):
\[x^2 = u = 1 \implies x = \pm 1.\]

Таким образом, мы получаем две стационарные точки функции \(f(x)\): \(x = 1\) и \(x = -1\).

Чтобы определить, является ли каждая точка максимумом или минимумом, мы можем взять вторую производную \(f""(x)\) и подставить значения \(x\):

\[f""(x) = \frac{{d^2}}{{dx^2}}\left(x^3 + \frac{{3}}{{x}} - 12\right).\]

\[f""(x) = 6x + \frac{{6}}{{x^3}}.\]

Для \(x = 1\):
\[f""(1) = 6 \cdot 1 + \frac{{6}}{{1^3}} = 6 + 6 = 12.\]
Так как \(f""(1) > 0\), то точка \(x = 1\) будет являться точкой минимума.

Для \(x = -1\):
\[f""(-1) = 6 \cdot (-1) + \frac{{6}}{{(-1)^3}} = -6 + 6 = 0.\]
Так как \(f""(-1) = 0\), мы не можем понять является ли точка \(x = -1\) максимумом, минимумом или точкой перегиба. Для этого нам требуется дополнительная информация.

Итак, мы нашли экстремумы функции \(f(x)\): точка минимума \(x = 1\) и точку \(x = -1\), которую нужно проверить для определения типа экстремума.


Задача 3. Для функции \(f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 2\) нам нужно найти интервалы возрастания и убывания. Чтобы это сделать, нам нужно найти производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 2).\]

Производная функции будет равна:

\[f"(x) = 6x^2 - 18x + 12.\]

Теперь мы должны найти корни этой производной, чтобы определить, когда функция возрастает или убывает. Для этого решим квадратное уравнение \(f"(x) = 0\):

\[6x^2 - 18x + 12 = 0.\]

Поделим каждый коэффициент на 6 для упрощения уравнения:

\[x^2 - 3x + 2 = 0.\]

Далее раскроем скобки и решим квадратное уравнение:

\[(x - 2)(x - 1) = 0.\]

Получаем два значения \(x\):
\(x = 2\) и \(x = 1\).

Теперь мы должны провести тесты интервалов между этими точками, чтобы определить, когда функция возрастает или убывает. Для этого выберем значения \(x\) в каждом интервале и проверим знак производной \(f"(x)\):

1) Когда \(x < 1\):
Выберем значение \(x = 0\). Подставим его в производную:

\[f"(0) = 6 \cdot 0^2 - 18 \cdot 0 + 12 = 12.\]

Так как \(f"(0) > 0\), это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((-\infty, 1)\).

2) Когда \(1 < x < 2\):
Выберем значение \(x = 1.5\). Подставим его в производную:

\[f"(1.5) = 6 \cdot 1.5^2 - 18 \cdot 1.5 + 12 = -6.\]

Так как \(f"(1.5) < 0\), это означает, что функция \(f(x)\) убывает на интервале \((1, 2)\).

3) Когда \(x > 2\):
Выберем значение \(x = 3\). Подставим его в производную:

\[f"(3) = 6 \cdot 3^2 - 18 \cdot 3 + 12 = 12.\]

Так как \(f"(3) > 0\), это означает, что функция \(f(x)\) возрастает на интервале \((2, +\infty)\).

Итак, мы определили интервалы возрастания и убывания функции \(f(x)\): \((-\infty, 1)\) - возрастание, \((1, 2)\) - убывание, \((2, +\infty)\) - возрастание.


Задача 4. Найдем максимальное и минимальное значения для функции \(f(x) = -\frac{{1}}{{3}}x^3 + \frac{{7}}{{2}}x^2 - 10x + 9\) на интервале \([0, 3]\). Для этого найдем критические точки, где производная \(f"(x)\) равна нулю или не существует, и выясним значением, являются ли эти точки максимумами или минимумами.

Найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(-\frac{{1}}{{3}}x^3 + \frac{{7}}{{2}}x^2 - 10x + 9\right).\]

Производная функции будет равна:

\[f"(x) = -x^2 + 7x - 10.\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и найдем значения \(x\):

\[-x^2 + 7x - 10 = 0.\]

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию или формулу дискриминанта. Здесь мы воспользуемся формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac.\]

Для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) равны:

\[a = -1, \quad b = 7, \quad c = -10.\]

Вычислим дискриминант \(D\):

\[D = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-10) = 49 - 40 = 9.\]

Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня.

Далее находим значения корней \(x\) с помощью формулы дискриминанта:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}.\]

\[x = \frac{{-7 \pm \sqrt{9}}}{{-2}}.\]

Мы получаем два значения \(x\):
\(x = 2\) и \(x = 5\).

Теперь мы должны провести тест интервалов между эт