1. Для каких значений c квадратичный трехчлен (1) x^2-12x+c положителен при любом x? 2. Найдите решение уравнения

Laska

40

1. Для того чтобы квадратичный трехчлен \(x^2-12x+c\) был положителен при любом значении \(x\), необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант \(D\) был отрицательным. Дискриминант равен \(D=b^2-4ac\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\), \(b\) - коэффициент при \(x\) и \(c\) - свободный коэффициент.

В данном случае у нас есть квадратичный трехчлен \(x^2-12x+c\), где \(a=1\), \(b=-12\) и \(c\) является искомым значением.

Теперь используем неравенство \(D<0\) для нахождения диапазона значений \(c\):
\[D=(-12)^2-4\cdot 1 \cdot c < 0\]
\[144 - 4c < 0\]
\[4c > 144\]
\[c > 36\]

Итак, для всех значений \(c\), больших 36, квадратичный трехчлен \(x^2-12x+c\) будет положительным при любом значении \(x\).

2. Давайте найдем решение уравнения: \(|x| - 2|x+1| + 3|x+2| = 0\).

Для того чтобы решить данное уравнение, мы должны рассмотреть его различные части c разными знаками. Давайте рассмотрим каждую часть по отдельности.

Когда \(x \geq 0\), \(|x|\) равен просто \(x\). Таким образом, уравнение становится:
\[x - 2|x+1| + 3|x+2| = 0\]

Когда \(-2 \leq x < 0\), \(|x|\) равен \(-x\). Поэтому уравнение примет вид:
\[-x - 2|x+1| + 3|x+2| = 0\]

Когда \(x < -2\), \(|x|\) равен \(-x\), и уравнение будет:
\[-x - 2|-x+1| + 3|x+2| = 0\]

Теперь решим каждое из этих уравнений.

1) \(x - 2|x+1| + 3|x+2| = 0\):
Разделим решение на два случая, когда \(x+1\) положительное и отрицательное.

Когда \(x+1 \geq 0\) или \(x \geq -1\):
\(x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0\)
\(x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0\)
\(2x + 4 = 0\)
\(2x = -4\)
\(x = -2\)

Когда \(x+1 < 0\) или \(x < -1\):
\(x - 2(-(x+1)) + 3(x+2) = 0\)
\(x + 2x + 2 + 3x + 6 = 0\)
\(6x + 8 = 0\)
\(6x = -8\)
\(x = -\frac{4}{3}\)

Таким образом, в этом случае имеем два решения: \(x = -2\) и \(x = -\frac{4}{3}\).

2) \(-x - 2|x+1| + 3|x+2| = 0\):
Разделим решение на два случая, когда \(x+1\) положительное и отрицательное.

Когда \(x+1 \geq 0\) или \(x \geq -1\):
\(-x - 2(x+1) + 3(x+2) = 0\)
\(-x - 2x - 2 + 3x + 6 = 0\)
\(2x + 4 = 0\)
\(2x = -4\)
\(x = -2\)

Когда \(x+1 < 0\) или \(x < -1\):
\(-x - 2(-(x+1)) + 3(x+2) = 0\)
\(-x + 2x + 2 + 3x + 6 = 0\)
\(4x + 8 = 0\)
\(4x = -8\)
\(x = -2\)

Таким образом, в этом случае также имеем два решения: \(x = -2\).

3) \(-x - 2|-x+1| + 3|x+2| = 0\):
В этом случае \(x+1\) всегда отрицательное. Разделим его на два подслучая: \(-x+1 \geq 0\) и \(-x+1 < 0\).

Когда \(-x+1 \geq 0\) или \(x \leq 1\):
\(-x - 2(-(-x+1)) + 3(x+2) = 0\)
\(-x + 2x - 2 + 3x + 6 = 0\)
\(4x + 4 = 0\)
\(4x = -4\)
\(x = -1\)

Когда \(-x+1 < 0\) или \(x > 1\):
\(-x - 2(-(-x+1)) + 3(x+2) = 0\)
\(-x + 2x - 2 + 3x + 6 = 0\)
\(4x + 4 = 0\)
\(4x = -4\)
\(x = -1\)

Таким образом, в этом случае также имеем одно решение: \(x = -1\).

Итак, решениями уравнения являются \(x = -2\), \(x = -\frac{4}{3}\) и \(x = -1\).