Найдите три последовательные натуральных числа, где квадрат наименьшего числа меньше произведения двух других чисел

Martyshka

65

\(x + 1\) и \(x + 2\). Нам нужно найти такое значение \(x\), при котором выполняется условие задачи.

Согласно условию задачи, квадрат наименьшего числа должен быть меньше произведения двух других чисел на 32. Мы можем выразить это математически:

\[x^2 < (x + 1)(x + 2) \cdot 32\]

Чтобы решить это неравенство, раскроем скобки:

\[x^2 < (x^2 + 3x + 2) \cdot 32\]

Распишем это дальше:

\[x^2 < 32x^2 + 96x + 64\]

Перенесем все влево:

\[0 < 31x^2 + 96x + 64\]

Теперь мы получили квадратное уравнение, которое можно решить. Можно воспользоваться дискриминантом, чтобы найти диапазон значений \(x\) при которых выполняется неравенство. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае:

\[a = 31, b = 96, c = 64\]

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\[D = 96^2 - 4 \cdot 31 \cdot 64\]

Посчитаем:

\[D = 9216 - 7936\]

\[D = 1280\]

Дискриминант положительный, что означает, что у нас есть два действительных корня.

Используя формулу для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x_{1,2} = \frac{-96 \pm \sqrt{1280}}{2 \cdot 31}\]

\[x_{1,2} = \frac{-96 \pm \sqrt{1280}}{62}\]

Теперь мы можем вычислить значения.