1. Докажите, что точки D, Е, F и К являются вершинами параллелограмма, и найдите периметр этого параллелограмма

Яксоб

27

Таблички под номерами помочь визуально представить себе задачу:

1. Докажем, что точки D, E, F и К являются вершинами параллелограмма. Для этого нам понадобится использовать свойства серединных перпендикуляров в треугольнике.

- Вспомним, что середины сторон треугольника делят их в соотношении 1:1.
- Так как D - середина стороны AB, то AD = DB.
- Аналогично, E - середина MB, поэтому ME = EB.
- Также F - середина МС, поэтому МF = FC.
- Конечно, К - середина AC, значит AK = KC.

Итак, мы доказали, что противоположные стороны параллелограмма равны. Теперь найдем периметр данного параллелограмма в тетраэдре МАВС.

- Из рисунка видно, что AM = AD + ME + MF, по свойству треугольника.
- Подставим значения AD, ME и MF: AM = AB/2 + MB/2 + MC/2.
- Зная, что AB = BC, заменим AB на BC: AM = BC/2 + MB/2 + MC/2.
- По условию, BC = 42 см, подставим: AM = 42/2 + MB/2 + MC/2.
- Также известно, что AM = 36 см, заменим: 36 = 42/2 + MB/2 + MC/2.

Поэтапно решим данное уравнение:

- Раскроем скобки: 36 = 21 + MB/2 + MC/2.
- Перенесем числа справа влево: 36 - 21 = MB/2 + MC/2.
- Упростим: 15 = MB/2 + MC/2.
- Домножим все части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления: 30 = MB + MC.
- Теперь заметим, что MB = MF и MC = ME, так как M - середина соответствующих сторон треугольника ABC.
- Подставим значения: 30 = MF + ME.
- Поэтому периметр параллелограмма P = 2(MF + ME) = 2(30) = 60 см.

Таким образом, мы доказали, что точки D, E, F и К являются вершинами параллелограмма, и нашли его периметр, равный 60 см.

2. Найдем длину отрезка EF.

Согласно условию, плоскость β параллельна стороне АВ. Заметим, что сторона АЕ является параллельной стороне АВ, так как E - середина стороны АВ. То есть, сторона АЕ также параллельна плоскости β.

- Используем свойство параллелограмма: соответствующие стороны параллелограмма равны между собой.
- Таким образом, AE = CF.
- По условию, АЕ : СЕ = 5:2. Подставим вместо АЕ значение 5х, где х - общий множитель: 5х : 2 = 21 см.
- Решим полученное уравнение: 5х = 2 * 21 см, 5х = 42.
- Разделим обе части на 5, чтобы найти х: х = 42 / 5.
- Подсчитаем значение х: х = 8.4 см.

Теперь найдем длину отрезка EF:

- EF = AE - AF.
- Подставим значения: EF = 5х - 2х = 3х = 3 * 8.4 см.
- Подсчитаем значение EF: EF = 25.2 см.

Таким образом, длина отрезка EF составляет 25.2 см.

3. Построим изображение перпендикуляра, опущенного из точки M на параллелограмме ABCD.

Для построения перпендикуляра, опущенного из точки М, мы будем использовать свойство параллелограмма, которое гласит, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

- Найдем середины диагоналей параллелограмма ABCD. Пусть середины диагонали AC и BD обозначены соответственно точками P и Q.
- Чтобы получить середину диагонали, соединим соответствующие вершины параллелограмма.
- Проведем линию, проходящую через точки P и Q. Эта линия будет являться перпендикуляром, опущенным из точки M на параллелограмм ABCD.
- Так как параллелограмм ABCD является изображением ромба A1B1C1D1, то перпендикуляр также будет перпендикуляром для ромба.

Таким образом, мы построили изображение перпендикуляра, опущенного из точки М на параллелограмме ABCD.