Какая точка является максимумом для функции y=2lnx−√x−17?

Dimon

50

Чтобы найти точку, в которой функция \(y = 2 \ln x - \sqrt{x} - 17\) достигает максимума, нам необходимо сначала найти её производную и приравнять её к нулю. Это позволит нам найти критические точки функции.

Давайте начнём с нахождения производной функции. Производная функции \(y = 2 \ln x - \sqrt{x} - 17\) может быть найдена с использованием правил дифференцирования. Помните, что производная \(\ln x\) равна \(\frac{1}{x}\), а производная \(\sqrt{x}\) равна \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\):

\[y" = \frac{d}{dx}(2 \ln x) - \frac{d}{dx}(\sqrt{x})\]

\[y" = \frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Теперь у нас есть производная функции \(y\) по \(x\). Чтобы найти точку максимума, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[\frac{2}{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0\]

Чтобы избавиться от дробей, можно умножить обе части уравнения на \(2x\sqrt{x}\):

\[2 \cdot 2\sqrt{x} - x \cdot 1 = 0\]

\[4\sqrt{x} - x = 0\]

Теперь квадратичное уравнение. Возведём обе части в квадрат:

\[(4\sqrt{x} - x)^2 = 0^2\]

\[16x - 8\sqrt{x}x + x^2 = 0\]

\[x^2 - 8\sqrt{x}x + 16x = 0\]

\[x(x - 8\sqrt{x} + 16) = 0\]

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Заметим, что \(x = 0\) является одним из решений этого уравнения. Однако, поскольку \(x\) - аргумент логарифма и корня, он не может быть равен нулю. Поэтому нам нужно найти второе решение \(x - 8\sqrt{x} + 16 = 0\).

Давайте решим это уравнение.