1) Find the coordinates of the center and the radius of the circle given the equation. a) b) 2) a) Does the point

Загадочный_Парень_9781

4

Добро пожаловать! Давайте начнём с задачи номер 1.

1) Для нахождения координат центра и радиуса окружности, данной уравнением, мы должны привести уравнение окружности к стандартному виду \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), где \((h, k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус окружности.

a) Для уравнения \(x^2 + y^2 + 6x - 2y - 5 = 0\):
Сначала приведём уравнение окружности к стандартному виду. Для этого сначала сгруппируем все \(x\) и \(y\) вместе:
\( (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) = 5 \).
Теперь добавим недостающие константы к обеим сторонам уравнения, чтобы завершить квадраты:
\( (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = 5 + 9 + 1 \).
Далее сгруппируем завершенные квадраты:
\( (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 15 \).

Из этого стандартного вида уравнения видно, что центр окружности находится в точке \((-3, 1)\), а радиус - это квадратный корень из правой стороны уравнения, то есть \(\sqrt{15}\).

b) Для уравнения \(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 8 = 0\):
Аналогично предыдущему случаю, преобразуем уравнение окружности к стандартному виду:
\( (x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = -8 \).
Добавим недостающие константы:
\( (x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = -8 + 4 + 9 \).
Сгруппируем завершенные квадраты:
\( (x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \).

Таким образом, центр окружности находится в точке \((-2, 3)\), а радиус окружности равен \(\sqrt{5}\).

2)
a) Для определения принадлежности точки \(K(2, -1)\) окружности, заданной уравнением \(x^2 + (y+4)^2 = 25\), подставим координаты точки в уравнение и проверим его истинность:
\(2^2 + (-1+4)^2 = 4 + 9 = 13 \neq 25\).

Таким образом, точка \(K(2, -1)\) не принадлежит заданной окружности.

b) Для определения принадлежности точки \(P(-3, -1)\) линии, заданной уравнением \(-2x + 4y - 2 = 0\), мы можем подставить координаты точки в уравнение и проверить его истинность:
\(-2(-3) + 4(-1) - 2 = 6 - 4 - 2 = 0\).

Итак, точка \(P(-3, -1)\) принадлежит заданной линии.

3) Для определения координат точек пересечения прямой, заданной уравнением \(-3x + 4y - 12 = 0\), с координатными осями, нам нужно перейти к \(x = 0\) и \(y = 0\).

a) Когда \(x = 0\), уравнение становится:
\[ -3(0) + 4y - 12 = 0 \Rightarrow 4y = 12 \Rightarrow y = 3. \]

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты \((0, 3)\).

b) Когда \(y = 0\), уравнение принимает вид:
\[ -3x + 4(0) - 12 = 0 \Rightarrow -3x = 12 \Rightarrow x = -4. \]

В итоге, вторая точка пересечения имеет координаты \((-4, 0)\).

4) Для определения уравнения окружности с центром в точке \(C(-3, 2)\), проходящей через точку \(A(1, 4)\), мы будем использовать стандартный вид уравнения окружности \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - центр окружности.

Используя координаты точки \(C\) и \(A\), мы можем найти радиус окружности:
\[ r = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}. \]

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид:
\[ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20. \]

5) Для определения уравнения прямой, проходящей через точки \(A(-2, -1)\) и \(B(3, -4)\), мы можем использовать формулу наклона прямой, которая задаётся двумя точками:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - (-1)}{3 - (-2)} = \frac{-4 + 1}{3 + 2} = \frac{-3}{5}. \]

Таким образом, наклон прямой равен \(-\frac{3}{5}\).

Чтобы найти уравнение прямой, мы можем использовать точку-отрезок формулы:
\[ y - y_1 = m(x - x_1). \]
Подставляя известные значения, получим:
\[ y - (-1) = -\frac{3}{5}(x - (-2)). \]
Упростив это уравнение, получим:
\[ y + 1 = -\frac{3}{5}(x + 2). \]

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки \(A(-2, -1)\) и \(B(3, -4)\), имеет вид:
\[ y + 1 = -\frac{3}{5}(x + 2). \]