1. Find the first 6 elements of a geometric progression a) b1=2 q=2 b) b1= -2 q=3 c) b1= -4 q= -2 2. In a geometric

Тропик

65

Хорошо, давайте решим задачи по геометрическим прогрессиям.

1. Найдем первые 6 элементов геометрической прогрессии:
a) Дано: $b_1=2$, $q=2$.
Первый элемент прогрессии — это $b_1=2$.
Второй элемент вычисляется по формуле: $b_2=b_1\cdot q=2\cdot 2=4$.
Третий элемент: $b_3=b_2\cdot q=4\cdot 2=8$.
Четвертый элемент: $b_4=b_3\cdot q=8\cdot 2=16$.
Пятый элемент: $b_5=b_4\cdot q=16\cdot 2=32$.
Шестой элемент: $b_6=b_5\cdot q=32\cdot 2=64$.
Таким образом, первые 6 элементов геометрической прогрессии с $b_1=2$ и $q=2$ равны: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

b) Дано: $b_1=-2$, $q=3$.
Первый элемент прогрессии: -2.
Второй элемент: $b_2=b_1\cdot q=-2\cdot 3=-6$.
Третий элемент: $b_3=b_2\cdot q=-6\cdot 3=-18$.
Четвертый элемент: $b_4=b_3\cdot q=-18\cdot 3=-54$.
Пятый элемент: $b_5=b_4\cdot q=-54\cdot 3=-162$.
Шестой элемент: $b_6=b_5\cdot q=-162\cdot 3=-486$.
Первые 6 элементов геометрической прогрессии с $b_1=-2$ и $q=3$ равны: -2, -6, -18, -54, -162, -486.

c) Дано: $b_1=-4$, $q=-2$.
Первый элемент прогрессии: -4.
Второй элемент: $b_2=b_1\cdot q=-4\cdot -2=8$.
Третий элемент: $b_3=b_2\cdot q=8\cdot -2=-16$.
Четвертый элемент: $b_4=b_3\cdot q=-16\cdot -2=32$.
Пятый элемент: $b_5=b_4\cdot q=32\cdot -2=-64$.
Шестой элемент: $b_6=b_5\cdot q=-64\cdot -2=128$.
Первые 6 элементов геометрической прогрессии с $b_1=-4$ и $q=-2$ равны: -4, 8, -16, 32, -64, 128.

2. Найдем некоторые элементы геометрической прогрессии:
a) Дано: $b_1=4$, $q=-2$.
Четвертый элемент прогрессии: $b_4=b_1\cdot q^3=4\cdot (-2{)}^3=4\cdot -8=-32$.

b) Дано: $b_1=-5$, $q=-3$.
Пятый элемент прогрессии: $b_5=b_1\cdot q^4=-5\cdot (-3{)}^4=-5\cdot 81=-405$.

c) Дано: $b_1=1$, $q=-3$.
Шестой элемент прогрессии: $b_6=b_1\cdot q^5=1\cdot (-3{)}^5=1\cdot -243=-243$.

3. Найдем сумму элементов геометрической прогрессии:
a) Дано: $b_1=2$, $q=3$, $n=4$.
Сумма первых 4 элементов прогрессии: $S_4=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\frac{2\cdot (1-3^4)}{1-3}=\frac{2\cdot (1-81)}{1-3}=\frac{2\cdot (-80)}{-2}=80$.

b) Дано: $b_1=4$, $q=-3$, $n=5$.
Сумма первых 5 элементов прогрессии: $S_5=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\frac{4\cdot (1-(-3{)}^5)}{1-(-3)}=\frac{4\cdot (1-243)}{1+3}=\frac{4\cdot (-242)}{4}=-242$.

c) Дано: $b_1=12$, $q=\frac{1}{2}$, $n=3$.
Сумма первых 3 элементов прогрессии: $S_3=\frac{b_1\cdot (1-q^n)}{1-q}=\frac{12\cdot (1-(\frac{1}{2}{)}^3)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{12\cdot (1-\frac{1}{8})}{\frac{1}{2}}=21$.

4. Найдем номер подчеркнутого элемента в геометрической прогрессии:
a) Дана прогрессия {4, 12, ...}.
Чтобы найти пропущенные элементы, рассмотрим соотношение между соседними элементами: $\frac{12}{4}=3$. Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель 3.
Следующий элемент: $12\cdot 3=36$.
Далее: $36\cdot 3=108$, $108\cdot 3=324$.
Таким образом, число 324 будет 4-ым элементом данной прогрессии.

b) Дана прогрессия {-1, 2, -4, 8, ...}.
Рассмотрим соотношение между соседними элементами: $\frac{2}{-1}=-2$. Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель -2.
Следующий элемент: $8\cdot -2=-16$.
Далее: $-16\cdot -2=32$, $32\cdot -2=-64$, $-64\cdot -2=128$.
Таким образом, число 128 будет 5-ым элементом данной прогрессии.

c) Дана прогрессия {6, 12, 24, ...}.
Рассмотрим соотношение между соседними элементами: $\frac{12}{6}=2$. Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель 2.
Следующий элемент: $24\cdot 2=48$.
Далее: $48\cdot 2=96$, $96\cdot 2=192$.
Таким образом, число 192 будет 3-им элементом данной прогрессии.

5. Найдем общий множитель $q$ геометрической прогрессии:
a) Дано: $b_1=5$, $b_4=-40$.
Для нахождения $q$, воспользуемся соотношением: $b_n=b_1\cdot q^{(n-1)}$.
Подставляя известные значения, получаем:
$-40=5\cdot q^{(4-1)}$.
Решая уравнение, получаем: $q=-2$.

b) Дано: $b_1=-5$, $b_5=25$.
Используя соотношение, получаем:
$25=-5\cdot q^{(5-1)}$.
Решая уравнение, получаем: $q=-\frac{1}{5}$.

c) Дано: $b_1=\frac{1}{2}$, $b_6=16$.
Подставляя значения, получаем:
$16=\frac{1}{2}\cdot q^{(6-1)}$.
Решая уравнение, получаем: $q=4$.

Таким образом, мы нашли ответы на все задачи по геометрическим прогрессиям. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.