1. Find the first 6 elements of a geometric progression a) b1=2 q=2 b) b1= -2 q=3 c) b1= -4 q= -2 2. In a geometric

Тропик

65

Хорошо, давайте решим задачи по геометрическим прогрессиям.

1. Найдем первые 6 элементов геометрической прогрессии:
a) Дано: \(b_1 = 2\), \(q = 2\).
Первый элемент прогрессии — это \(b_1 = 2\).
Второй элемент вычисляется по формуле: \(b_2 = b_1 \cdot q = 2 \cdot 2 = 4\).
Третий элемент: \(b_3 = b_2 \cdot q = 4 \cdot 2 = 8\).
Четвертый элемент: \(b_4 = b_3 \cdot q = 8 \cdot 2 = 16\).
Пятый элемент: \(b_5 = b_4 \cdot q = 16 \cdot 2 = 32\).
Шестой элемент: \(b_6 = b_5 \cdot q = 32 \cdot 2 = 64\).
Таким образом, первые 6 элементов геометрической прогрессии с \(b_1 = 2\) и \(q = 2\) равны: 2, 4, 8, 16, 32, 64.

b) Дано: \(b_1 = -2\), \(q = 3\).
Первый элемент прогрессии: -2.
Второй элемент: \(b_2 = b_1 \cdot q = -2 \cdot 3 = -6\).
Третий элемент: \(b_3 = b_2 \cdot q = -6 \cdot 3 = -18\).
Четвертый элемент: \(b_4 = b_3 \cdot q = -18 \cdot 3 = -54\).
Пятый элемент: \(b_5 = b_4 \cdot q = -54 \cdot 3 = -162\).
Шестой элемент: \(b_6 = b_5 \cdot q = -162 \cdot 3 = -486\).
Первые 6 элементов геометрической прогрессии с \(b_1 = -2\) и \(q = 3\) равны: -2, -6, -18, -54, -162, -486.

c) Дано: \(b_1 = -4\), \(q = -2\).
Первый элемент прогрессии: -4.
Второй элемент: \(b_2 = b_1 \cdot q = -4 \cdot -2 = 8\).
Третий элемент: \(b_3 = b_2 \cdot q = 8 \cdot -2 = -16\).
Четвертый элемент: \(b_4 = b_3 \cdot q = -16 \cdot -2 = 32\).
Пятый элемент: \(b_5 = b_4 \cdot q = 32 \cdot -2 = -64\).
Шестой элемент: \(b_6 = b_5 \cdot q = -64 \cdot -2 = 128\).
Первые 6 элементов геометрической прогрессии с \(b_1 = -4\) и \(q = -2\) равны: -4, 8, -16, 32, -64, 128.

2. Найдем некоторые элементы геометрической прогрессии:
a) Дано: \(b_1 = 4\), \(q = -2\).
Четвертый элемент прогрессии: \(b_4 = b_1 \cdot q^3 = 4 \cdot (-2)^3 = 4 \cdot -8 = -32\).

b) Дано: \(b_1 = -5\), \(q = -3\).
Пятый элемент прогрессии: \(b_5 = b_1 \cdot q^4 = -5 \cdot (-3)^4 = -5 \cdot 81 = -405\).

c) Дано: \(b_1 = 1\), \(q = -3\).
Шестой элемент прогрессии: \(b_6 = b_1 \cdot q^5 = 1 \cdot (-3)^5 = 1 \cdot -243 = -243\).

3. Найдем сумму элементов геометрической прогрессии:
a) Дано: \(b_1 = 2\), \(q = 3\), \(n = 4\).
Сумма первых 4 элементов прогрессии: \(S_4 = \frac{{b_1 \cdot (1-q^n)}}{{1-q}} = \frac{{2 \cdot (1-3^4)}}{{1-3}} = \frac{{2 \cdot (1-81)}}{{1-3}} = \frac{{2 \cdot (-80)}}{{-2}} = 80\).

b) Дано: \(b_1 = 4\), \(q = -3\), \(n = 5\).
Сумма первых 5 элементов прогрессии: \(S_5 = \frac{{b_1 \cdot (1-q^n)}}{{1-q}} = \frac{{4 \cdot (1-(-3)^5)}}{{1-(-3)}} = \frac{{4 \cdot (1-243)}}{{1+3}} = \frac{{4 \cdot (-242)}}{{4}} = -242\).

c) Дано: \(b_1 = 12\), \(q = \frac{1}{2}\), \(n = 3\).
Сумма первых 3 элементов прогрессии: \(S_3 = \frac{{b_1 \cdot (1-q^n)}}{{1-q}} = \frac{{12 \cdot (1-(\frac{1}{2})^3)}}{{1-\frac{1}{2}}} = \frac{{12 \cdot (1-\frac{1}{8})}}{{\frac{1}{2}}} = 21\).

4. Найдем номер подчеркнутого элемента в геометрической прогрессии:
a) Дана прогрессия {4, 12, ...}.
Чтобы найти пропущенные элементы, рассмотрим соотношение между соседними элементами: \(\frac{{12}}{{4}} = 3\). Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель 3.
Следующий элемент: \(12 \cdot 3 = 36\).
Далее: \(36 \cdot 3 = 108\), \(108 \cdot 3 = 324\).
Таким образом, число 324 будет 4-ым элементом данной прогрессии.

b) Дана прогрессия {-1, 2, -4, 8, ...}.
Рассмотрим соотношение между соседними элементами: \(\frac{{2}}{{-1}} = -2\). Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель -2.
Следующий элемент: \(8 \cdot -2 = -16\).
Далее: \(-16 \cdot -2 = 32\), \(32 \cdot -2 = -64\), \(-64 \cdot -2 = 128\).
Таким образом, число 128 будет 5-ым элементом данной прогрессии.

c) Дана прогрессия {6, 12, 24, ...}.
Рассмотрим соотношение между соседними элементами: \(\frac{{12}}{{6}} = 2\). Значит, между каждыми двумя соседними элементами есть множитель 2.
Следующий элемент: \(24 \cdot 2 = 48\).
Далее: \(48 \cdot 2 = 96\), \(96 \cdot 2 = 192\).
Таким образом, число 192 будет 3-им элементом данной прогрессии.

5. Найдем общий множитель \(q\) геометрической прогрессии:
a) Дано: \(b_1 = 5\), \(b_4 = -40\).
Для нахождения \(q\), воспользуемся соотношением: \(b_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\).
Подставляя известные значения, получаем:
\(-40 = 5 \cdot q^{(4-1)}\).
Решая уравнение, получаем: \(q = -2\).

b) Дано: \(b_1 = -5\), \(b_5 = 25\).
Используя соотношение, получаем:
\(25 = -5 \cdot q^{(5-1)}\).
Решая уравнение, получаем: \(q = -\frac{1}{5}\).

c) Дано: \(b_1 = \frac{1}{2}\), \(b_6 = 16\).
Подставляя значения, получаем:
\(16 = \frac{1}{2} \cdot q^{(6-1)}\).
Решая уравнение, получаем: \(q = 4\).

Таким образом, мы нашли ответы на все задачи по геометрическим прогрессиям. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.