Яка ймовірність, що обидві книги, які Петрик взяв, будуть з математики, знаходячись на книжковій полиці, де знаходиться

Nadezhda

67

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

В задаче сказано, что на книжной полке находятся 4 книги по математике и 4 книги по физике. Петрик должен выбрать две книги.

Сначала мы посчитаем всевозможные комбинации выбора двух книг из восьми на полке. Для этого воспользуемся сочетаниями, так как порядок выбора не важен.

Число сочетаний из n по k обозначается символом C и вычисляется по формуле:

\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

Где n! обозначает факториал числа n, который представляет собой произведение всех положительных целых чисел от 1 до n.

В данном случае, n = 8 (общее количество книг на полке), а k = 2 (количество книг, которые нужно выбрать). Подставим значения в формулу:

\[C(8, 2) = \frac{{8!}}{{2! \cdot (8-2)!}} = \frac{{8!}}{{2! \cdot 6!}}\]

Теперь найдем значение факториала числа 8:

\[8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

А также значения факториалов чисел 2 и 6:

\[2! = 2 \cdot 1\]

\[6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

Подставим значения в формулу:

\[C(8, 2) = \frac{{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot (6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}}\]

Выполним вычисления:

\[C(8, 2) = \frac{{8 \cdot 7}}{{2 \cdot 1}} = \frac{{56}}{{2}} = 28\]

Таким образом, всего возможных комбинаций выбора двух книг равно 28.

Теперь определим количество благоприятных исходов, когда обе выбранные книги будут по математике. Для этого нам нужно выбрать две книги из четырех имеющихся по математике.

Применим ту же формулу сочетаний, только теперь n = 4 (количество книг по математике) и k = 2:

\[C(4, 2) = \frac{{4!}}{{2! \cdot (4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2! \cdot 2!}}\]

Вычислим значения факториалов:

\[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\]

\[2! = 2 \cdot 1\]

Подставим значения в формулу:

\[C(4, 2) = \frac{{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{{2 \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1)}} = \frac{{24}}{{(2 \cdot 2)}} = \frac{{24}}{{4}} = 6\]

Таким образом, количество благоприятных исходов равно 6.

Наконец, вероятность события - это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

\[P = \frac{{\text{{количество благоприятных исходов}}}}{{\text{{общее количество исходов}}}}\]

Подставляем значения:

\[P = \frac{{6}}{{28}}\]

Упростим дробь:

\[P = \frac{{3}}{{14}}\]

Таким образом, вероятность того, что обе книги, взятые Петриком, будут по математике, составляет \(\frac{{3}}{{14}}\) или около 0.2143 (округленное значение до четырех знаков после запятой).

Надеюсь, ответ был полезен и понятен школьнику.