1. Какую область определения имеет функция y=(9x)/(9+x^2)? Запиши ответ в виде ( ; ). 2. Какой график соответствует

Владимир

4

1. Областью определения функции y=(9x)/(9+x^2) является множество всех значений x, для которых знаменатель 9+x^2 не равен нулю. То есть, чтобы определить допустимые значения x, нам нужно решить уравнение 9+x^2=0.

Решим это уравнение:
9+x^2=0
x^2=-9
x=±√(-9)
Так как подкоренное выражение отрицательное, решений нет.
Значит, областью определения функции является весь действительный числовой промежуток (-∞; ∞).

2. График данной функции будет иметь две ветви, симметричные относительно оси абсцисс. Они будут выпуклыми вниз и пересекаться в точке (0, 0). Также, график будет приближаться к нулю при стремлении x к ±∞.

3. Горизонтальная асимптота графика функции будет прямой y=0. Это следует из предыдущего пункта, где мы установили, что график будет приближаться к нулю при стремлении x к ±∞.

4. Чтобы найти производную данной функции y=(9x)/(9+x^2), мы можем использовать правило дифференцирования частного функций.

Применим правило дифференцирования частного:
y′ = ((9+x^2) * (9) - (9x) * (2x)) / (9 + x^2)^2
y′ = (81 + 9x^2 - 18x^2) / (9 + x^2)^2
y′ = (81 - 9x^2) / (9 + x^2)^2

5. Чтобы найти стационарные точки функции, нам нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю. Решим уравнение y′=0:
(81 - 9x^2) / (9 + x^2)^2 = 0
81 - 9x^2 = 0
9x^2 = 81
x^2 = 9
x1,2 = ±3

То есть, стационарными точками функции будут x1 = -3 и x2 = 3.

6. Чтобы найти точки экстремума функции, нам нужно проверить знаки производной в окрестности стационарных точек. Если производная меняет знак с "плюс" на "минус", то это будет точка максимума, и наоборот.

Посмотрим знаки производной для x < -3, -3 < x < 3 и x > 3:
Для x < -3: при подстановке любого числа меньшего -3, производная дает положительное значение.
-∞ < x < -3 : y′ > 0

Для -3 < x < 3: при подстановке любого числа между -3 и 3, производная дает отрицательное значение.
-3 < x < 3 : y′ < 0

Для x > 3: при подстановке любого числа большего 3, производная дает положительное значение.
3 < x < +∞ : y′ > 0

Исходя из этих знаков производной, мы можем сделать выводы о точках экстремума:
Точка максимума экстремума будет при x = -3, а точка минимума экстремума будет при x = 3.

7. Чтобы найти интервалы монотонности функции, мы должны определить знак производной на каждом отрезке, где она определена.

Из прошлого пункта мы уже знаем, что производная равна 0 в точках x = -3 и x = 3, и между этими точками производная отрицательна.

Исходя из этой информации и знаков производной, мы можем сделать выводы о интервалах монотонности функции:
-∞ < x < -3: функция убывает
-3 < x < 3: функция возрастает
3 < x < +∞: функция убывает

Таким образом, функция будет убывать на интервалах (-∞; -3) и (3; +∞), а возрастать на интервале (-3; 3).