1. Find the seventh term of the sequence with the rule u_n = n + 2; n² - 13. 2. Find the sixth term of the sequence

Zvezdnaya_Galaktika_1712

41

Здравствуйте! Давайте вместе решим эти задачи.

1. Найти седьмый член последовательности с правилом \(u_n = n + 2; n^2 - 13\).
Для нахождения седьмого члена последовательности нам нужно подставить значение \(n = 7\) в формулу \(u_n = n + 2; n^2 - 13\).
Таким образом, \(u_7 = 7 + 2; 7^2 - 13\).
Вычислим это:
\[u_7 = 9; 49 - 13\]
\[u_7 = 9; 36\]
Ответ: Седьмой член последовательности равен 36.

2. Найти шестой член последовательности, определенной рекурсивно как \(u_1 = 2, u_n = u_{n-1} + 4\) (для \(n = 2,3,4,5,…\)).
Для нахождения шестого члена последовательности нам нужно использовать рекурсивное определение \(u_n = u_{n-1} + 4\).
Таким образом, мы можем выразить первые несколько членов последовательности:
\(u_2 = u_1 + 4 = 2 + 4 = 6\)
\(u_3 = u_2 + 4 = 6 + 4 = 10\)
\(u_4 = u_3 + 4 = 10 + 4 = 14\)
\(u_5 = u_4 + 4 = 14 + 4 = 18\)
Теперь мы можем найти шестой член последовательности:
\(u_6 = u_5 + 4 = 18 + 4 = 22\)
Ответ: Шестой член последовательности равен 22.

3. Найти формулу для \(n\)-го члена последовательности \(2; 3; 4; 5; 6;….. 13; 15; 17; 19;…\).
Наблюдая данную последовательность, мы можем заметить, что она представляет собой арифметическую прогрессию, где каждый член на 2 больше предыдущего.
Таким образом, формула для \(n\)-го члена последовательности будет следующей:
\[u_n = 2 + (n-1) \cdot 2\]
Разберем формулу по шагам:
- \(2\) - это первый член последовательности,
- \((n-1)\) - показывает, что мы берем \(n\)-ый член последовательности, а \(n-1\) позволяет учесть, что предшествующие члены (\(2, 3, 4, 5, 6, \ldots\)) добавляют к исходному \(2\),
- \(2\) - каждый следующий член последовательности больше предыдущего на \(2\).

Ответ: Формула для \(n\)-го члена последовательности равна \(2 + (n-1) \cdot 2\).

4. Сколько членов последовательности \(4, 8, 12, 16, \ldots\) меньше 93?
Мы видим, что данная последовательность представляет собой арифметическую прогрессию с разностью \(4\). Для того, чтобы найти количество членов, меньших чем 93, нам нужно найти наибольшее \(n\), для которого \(u_n < 93\).
Давайте найдем это значение пошагово:
\(u_1 = 4\)
\(u_2 = 4 + 4 = 8\)
\(u_3 = 8 + 4 = 12\)
\(u_4 = 12 + 4 = 16\)
Мы видим, что для \(u_5\) получим \(u_5 = 16 + 4 = 20\), что уже больше 93.
Таким образом, в данной последовательности 4 члена меньше 93.

Ответ: В данной последовательности 4 члена меньше 93.

5. Пусть \(u_1 = 1, u_2 = 2, u_n = 3u_{n-2} + 2u_{n-1}\) (для \(n = 3,4,5,…\)). Найдите значение \(n\), если известно, что \(u_n\)

Чтобы найти значение \(n\), нам нужно использовать рекурсивное определение последовательности \(u_n = 3u_{n-2} + 2u_{n-1}\) и сравнить \(u_n\) со значением, данном в условии задачи.

Пошагово найдем значения последовательности:
\(u_3 = 3u_{3-2} + 2u_{3-1} = 3u_1 + 2u_2 = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7\)
\(u_4 = 3u_{4-2} + 2u_{4-1} = 3u_2 + 2u_3 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 7 = 6 + 14 = 20\)
\(u_5 = 3u_{5-2} + 2u_{5-1} = 3u_3 + 2u_4 = 3 \cdot 7 + 2 \cdot 20 = 21 + 40 = 61\)
\(u_6 = 3u_{6-2} + 2u_{6-1} = 3u_4 + 2u_5 = 3 \cdot 20 + 2 \cdot 61 = 60 + 122 = 182\)

Таким образом, последовательность \(u_n\) имеет значения: 1, 2, 7, 20, 61, 182, ...

Известно, что \(u_n < 1000\). Мы видим, что значение 1000 превышается при \(n = 6\).
Таким образом, значение \(n\) равно 6.

Ответ: Значение \(n\) равно 6.