1) Используя комплексную плоскость, отобразить точки -i и -2+2i. 2) Выполнить следующие операции: а) i⁴+i⁵-2i

Alekseevich

56

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по порядку:

1) Для отображения точек -i и -2+2i на комплексной плоскости, мы используем координатную плоскость, где вещественная ось представлена горизонтальной осью, а мнимая ось - вертикальной осью. Для изображения точки -i, мы ищем значение на мнимой оси, где значение равно -1. И для точки -2+2i, мы находим значение на вещественной и мнимой осях, которые равны -2 и 2 соответственно. Таким образом, точка -i будет представлена как (0, -1), а точка -2+2i будет представлена как (-2, 2) на комплексной плоскости.

2) а) Для выполнения операции i⁴+i⁵-2i, мы просто заменяем каждое вхождение символа i на его соответствующее значение. Зная, что i² = -1 и i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1, а также что i⁵ = (i²)³ * i = (-1)³ * i = -i, мы можем подставить значения: i⁴+i⁵-2i = 1 + (-i) - 2i = 1 - 3i.

б) Для операции 3/(1-3i) - 1/(3+i), мы сначала найдем общий знаменатель для дробей. Перемножим два знаменателя: (1-3i) * (3+i) = 3 - 3i + 3i - 9i² = 3 + 9i², где мы заменили \(i^2\) на -1. Теперь получим обратное значение для этого выражения, меняем знак перед каждым членом: 3 + 9i² = 3 - 9 = -6. Теперь рассчитываем числитель: 3 * (3+i) - 1 * (1-3i) = 9 + 3i - 1 + 3i = 8 + 6i. Общая дробь теперь будет равна (8 + 6i) / (-6). Для деления комплексных чисел на вещественное число, разделим каждую компоненту на это вещественное число: 8 / (-6) + 6i / (-6) = -4/3 - i.

3) Чтобы найти решение уравнения 2z² - 6z + 5 = 0, мы можем использовать формулу квадратного уравнения: \[z = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\], где a = 2, b = -6 и c = 5. Заменяя значения в формулу, мы получаем: \[z = \dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}\]. Это упрощается до \[z = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{4} = \dfrac{6 \pm \sqrt{-4}}{4}\]. Так как подкоренное выражение -4 является отрицательным числом, мы используем мнимую единицу i: \[z = \dfrac{6 \pm 2i}{4} = \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{i}{2}\]. Таким образом, решением уравнения являются два комплексных числа: \[z_1 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{i}{2},\] \[z_2 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{i}{2}\].

4) Чтобы найти решение уравнения \(z³ = -27\), мы можем использовать извлечение кубического корня. В данном случае, мы ищем комплексные числа, возведение которых в куб дает -27. Один из способов найти решение - это использовать формулу для кубического корня комплексного числа. Формула имеет вид: \[z = \sqrt[3]{r} \cdot \left(\cos\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right)\], где \(r\) - модуль числа, \(\theta\) - аргумент числа, \(n\) - степень корня (в данном случае 3), а \(k\) - целое число. В данном случае, \(r = |-27| = 27\) и \(\theta = \arctan(0, \frac{-27}{0}) = \pi\). Подставляя значения, получаем: \[z = \sqrt[3]{27} \cdot \left(\cos\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi + 2\pi k}{3}\right)\right)\], где \(k = 0, 1, 2\). Таким образом, решение будет иметь вид:
\[z_1 = \sqrt[3]{27} \cdot (\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right))\],
\[z_2 = \sqrt[3]{27} \cdot (\cos\left(\pi\right) + i \cdot \sin\left(\pi\right))\],
\[z_3 = \sqrt[3]{27} \cdot (\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i \cdot \sin\left(\frac{5\pi}{3}\right))\].

Надеюсь, ответы были подробными и понятными для вас. Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я всегда готов помочь вам.