1) Используя комплексную плоскость, отобразить точки -i и -2+2i. 2) Выполнить следующие операции: а) i⁴+i⁵-2i

Alekseevich

56

Хорошо, давайте разберем каждую задачу по порядку:

1) Для отображения точек -i и -2+2i на комплексной плоскости, мы используем координатную плоскость, где вещественная ось представлена горизонтальной осью, а мнимая ось - вертикальной осью. Для изображения точки -i, мы ищем значение на мнимой оси, где значение равно -1. И для точки -2+2i, мы находим значение на вещественной и мнимой осях, которые равны -2 и 2 соответственно. Таким образом, точка -i будет представлена как (0, -1), а точка -2+2i будет представлена как (-2, 2) на комплексной плоскости.

2) а) Для выполнения операции i⁴+i⁵-2i, мы просто заменяем каждое вхождение символа i на его соответствующее значение. Зная, что i² = -1 и i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1, а также что i⁵ = (i²)³ * i = (-1)³ * i = -i, мы можем подставить значения: i⁴+i⁵-2i = 1 + (-i) - 2i = 1 - 3i.

б) Для операции 3/(1-3i) - 1/(3+i), мы сначала найдем общий знаменатель для дробей. Перемножим два знаменателя: (1-3i) * (3+i) = 3 - 3i + 3i - 9i² = 3 + 9i², где мы заменили $i^2$ на -1. Теперь получим обратное значение для этого выражения, меняем знак перед каждым членом: 3 + 9i² = 3 - 9 = -6. Теперь рассчитываем числитель: 3 * (3+i) - 1 * (1-3i) = 9 + 3i - 1 + 3i = 8 + 6i. Общая дробь теперь будет равна (8 + 6i) / (-6). Для деления комплексных чисел на вещественное число, разделим каждую компоненту на это вещественное число: 8 / (-6) + 6i / (-6) = -4/3 - i.

3) Чтобы найти решение уравнения 2z² - 6z + 5 = 0, мы можем использовать формулу квадратного уравнения: $$z={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$, где a = 2, b = -6 и c = 5. Заменяя значения в формулу, мы получаем: $$z={\displaystyle \frac{-(-6)\pm \sqrt{(-6{)}^2-4(2)(5)}}{2(2)}}$$. Это упрощается до $$z={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{36-40}}{4}}={\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{-4}}{4}}$$. Так как подкоренное выражение -4 является отрицательным числом, мы используем мнимую единицу i: $$z={\displaystyle \frac{6\pm 2i}{4}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\pm {\displaystyle \frac{i}{2}}$$. Таким образом, решением уравнения являются два комплексных числа: $$z_1={\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{i}{2}},$$ $$z_2={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{i}{2}}$$.

4) Чтобы найти решение уравнения $z³=-27$, мы можем использовать извлечение кубического корня. В данном случае, мы ищем комплексные числа, возведение которых в куб дает -27. Один из способов найти решение - это использовать формулу для кубического корня комплексного числа. Формула имеет вид: $$z=\sqrt[3]{r}\cdot (\cos \left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)+i\cdot \sin \left(\frac{\theta +2\pi k}{n}\right))$$, где $r$ - модуль числа, $\theta$ - аргумент числа, $n$ - степень корня (в данном случае 3), а $k$ - целое число. В данном случае, $r=|-27|=27$ и $\theta =\arctan (0,\frac{-27}{0})=\pi$. Подставляя значения, получаем: $$z=\sqrt[3]{27}\cdot (\cos \left(\frac{\pi +2\pi k}{3}\right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi +2\pi k}{3}\right))$$, где $k=0,1,2$. Таким образом, решение будет иметь вид:
$$z_1=\sqrt[3]{27}\cdot (\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+i\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right))$$,
$$z_2=\sqrt[3]{27}\cdot (\cos \left(\pi \right)+i\cdot \sin \left(\pi \right))$$,
$$z_3=\sqrt[3]{27}\cdot (\cos \left(\frac{5\pi }{3}\right)+i\cdot \sin \left(\frac{5\pi }{3}\right))$$.

Надеюсь, ответы были подробными и понятными для вас. Если у вас есть еще вопросы или что-то непонятно, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать. Я всегда готов помочь вам.