1. Исследуйте на присутствие монотонности и экстремумов функцию: а) f(x) = (x+1)^2(x-2) 2. Определите монотонность

  • 36
1. Исследуйте на присутствие монотонности и экстремумов функцию: а) f(x) = (x+1)^2(x-2)
2. Определите монотонность и экстремумы функции: а) f(x) = (x+1)^2(x-2)
3. Проанализируйте функцию для определения монотонности и экстремумов: а) f(x) = (x+1)^2(x-2)
4. Проведите исследование монотонности и экстремумов функции: а) f(x) = (x+1)^2(x-2)

1. Исследуйте на монотонность и поиск экстремумов функцию: б) f(x) = 32lnx - x^2
2. Определите монотонность и экстремумы функции: б) f(x) = 32lnx - x^2
3. Проанализируйте функцию с точки зрения монотонности и экстремумов: б) f(x) = 32lnx - x^2
4. Проведите исследование монотонности и экстремумов функции: б) f(x) = 32lnx - x^2
Магия_Звезд_9832
67
Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Исследуем на присутствие монотонности и экстремумов функцию f(x)=(x+1)2(x2):

Для начала, определим область определения функции f(x). В данном случае, функция определена для всех значений x.

Теперь исследуем на монотонность. Для этого найдем первую производную функции и проверим её знак на интервалах.

f"(x)=2(x+1)(x2)+(x+1)2=(x+1)[2(x2)+(x+1)]=(x+1)(3x3)

Мы видим, что f"(x) равна нулю при x=1 и x=1. Теперь рассмотрим знак f"(x) на разных интервалах:

- Если x<1, то f"(x)<0 (знак "-").

- Если 1<x<1, то f"(x)>0 (знак "+").

- Если x>1, то f"(x)>0 (знак "+").

Таким образом, функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (,1) и (1,+), и монотонно убывает на интервале (1,1).

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

f""(x)=(x+1)(3)

Мы видим, что f""(x) является постоянной функцией и не меняет свой знак ни на каком интервале.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция f(x) имеет локальный минимум при x=1, т.к. значение f(x) было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

- Функция f(x) не имеет локальных максимумов, так как значение f(x) было монотонно возрастающим и продолжает быть монотонно возрастающим.

2. Определим монотонность и экстремумы функции f(x)=(x+1)2(x2):

Мы уже рассмотрели эту функцию в предыдущей задаче и пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервалах (,1) и (1,+), и монотонно убывает на интервале (1,1). Также, мы выяснили, что у функции есть локальный минимум при x=1 и отсутствуют локальные максимумы.

3. Проанализируем функцию для определения монотонности и экстремумов f(x)=(x+1)2(x2):

Мы уже провели полный анализ этой функции в задачах 1 и 2. Таким образом, функция f(x) монотонно возрастает на интервалах (,1) и (1,+), монотонно убывает на интервале (1,1), имеет локальный минимум при x=1, и не имеет локальных максимумов.

4. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции f(x)=(x+1)2(x2):

Опять же, мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервалах (,1) и (1,+), монотонно убывает на интервале (1,1), имеет локальный минимум при x=1, и не имеет локальных максимумов.

5. Исследуем на монотонность и поиск экстремумов функцию f(x)=32ln(x)x2:

Для начала, определим область определения функции f(x). В данном случае, функция определена для значений x больших нуля, т.е. x>0.

Теперь исследуем на монотонность. Найдем первую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

f"(x)=32x2x

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим уравнение f"(x)=0:

32x2x=0

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

322x2x=0

Упрощаем:

322x2=0

Решим полученное квадратное уравнение:

2x2=32

x2=16

x=±4

Мы получили две точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс: x=4 и x=4.

Теперь рассмотрим знак f"(x) на различных интервалах:

- Если 0<x<4, то f"(x)>0 (знак "+").

- Если x>4, то f"(x)<0 (знак "-").

- Если x<4, то f"(x)<0 (знак "-").

Таким образом, функция f(x) монотонно возрастает на интервале (0,4) и монотонно убывает на интервалах (,4) и (4,+).

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

f""(x)=32x22

Мы видим, что f""(x) является отрицательной функцией на всей области определения x>0.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция f(x) не имеет локальных минимумов, так как значение f(x) было монотонно возрастающим и стало монотонно убывающим.

- Функция f(x) имеет локальный максимум при x=4, так как значение f(x) было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

6. Определим монотонность и экстремумы функции f(x)=32ln(x)x2:

Мы уже проанализировали эту функцию в задаче 5. В результате, мы установили, что она монотонно возрастает на интервале (0,4) и монотонно убывает на интервалах (,4) и (4,+). Также, мы обнаружили, что у функции есть локальный максимум при x=4 и не имеется локальных минимумов.

7. Проанализируем функцию с точки зрения монотонности и экстремумов f(x)=32ln(x)x2:

Мы уже провели полный анализ данной функции в предыдущих задачах. В результате, мы пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервале (0,4) и монотонно убывает на интервалах (,4) и (4,+). Также, мы определили наличие локального максимума при x=4 и отсутствие локальных минимумов.

8. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции f(x)=32ln(x)x2:

Мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервале (0,4) и монотонно убывает на интервалах (,4) и (4,+). Также, мы выяснили, что у функции есть локальный максимум при x=4 и отсутствуют локальные минимумы.

Пожалуйста, используйте данный анализ для изучения монотонности и экстремумов данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!