1. Исследуйте на присутствие монотонности и экстремумов функцию: а) f(x) = (x+1)^2(x-2) 2. Определите монотонность

Магия_Звезд_9832

67

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Исследуем на присутствие монотонности и экстремумов функцию $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$:

Для начала, определим область определения функции $f(x)$. В данном случае, функция определена для всех значений $x$.

Теперь исследуем на монотонность. Для этого найдем первую производную функции и проверим её знак на интервалах.

$$f"(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1{)}^2=(x+1)[2(x-2)+(x+1)]=(x+1)(3x-3)$$

Мы видим, что $f"(x)$ равна нулю при $x=-1$ и $x=1$. Теперь рассмотрим знак $f"(x)$ на разных интервалах:

- Если $x<-1$, то $f"(x)<0$ (знак "-").

- Если $-1<x<1$, то $f"(x)>0$ (знак "+").

- Если $x>1$, то $f"(x)>0$ (знак "+").

Таким образом, функция $f(x)$ монотонно возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$, и монотонно убывает на интервале $(-1,1)$.

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

$$f""(x)=(x+1)(3)$$

Мы видим, что $f""(x)$ является постоянной функцией и не меняет свой знак ни на каком интервале.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция $f(x)$ имеет локальный минимум при $x=-1$, т.к. значение $f(x)$ было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

- Функция $f(x)$ не имеет локальных максимумов, так как значение $f(x)$ было монотонно возрастающим и продолжает быть монотонно возрастающим.

2. Определим монотонность и экстремумы функции $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$:

Мы уже рассмотрели эту функцию в предыдущей задаче и пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$, и монотонно убывает на интервале $(-1,1)$. Также, мы выяснили, что у функции есть локальный минимум при $x=-1$ и отсутствуют локальные максимумы.

3. Проанализируем функцию для определения монотонности и экстремумов $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$:

Мы уже провели полный анализ этой функции в задачах 1 и 2. Таким образом, функция $f(x)$ монотонно возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$, монотонно убывает на интервале $(-1,1)$, имеет локальный минимум при $x=-1$, и не имеет локальных максимумов.

4. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции $f(x)=(x+1{)}^2(x-2)$:

Опять же, мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-1)$ и $(1,+\mathrm{\infty })$, монотонно убывает на интервале $(-1,1)$, имеет локальный минимум при $x=-1$, и не имеет локальных максимумов.

5. Исследуем на монотонность и поиск экстремумов функцию $f(x)=32\ln (x)-x^2$:

Для начала, определим область определения функции $f(x)$. В данном случае, функция определена для значений $x$ больших нуля, т.е. $x>0$.

Теперь исследуем на монотонность. Найдем первую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

$$f"(x)=\frac{32}{x}-2x$$

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим уравнение $f"(x)=0$:

$\frac{32}{x}-2x=0$

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

$\frac{32-2x^2}{x}=0$

Упрощаем:

$32-2x^2=0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$2x^2=32$

$x^2=16$

$x=\pm 4$

Мы получили две точки пересечения графика функции $f(x)$ с осью абсцисс: $x=4$ и $x=-4$.

Теперь рассмотрим знак $f"(x)$ на различных интервалах:

- Если $0<x<4$, то $f"(x)>0$ (знак "+").

- Если $x>4$, то $f"(x)<0$ (знак "-").

- Если $x<-4$, то $f"(x)<0$ (знак "-").

Таким образом, функция $f(x)$ монотонно возрастает на интервале $(0,4)$ и монотонно убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-4)$ и $(4,+\mathrm{\infty })$.

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

$$f""(x)=-\frac{32}{x^2}-2$$

Мы видим, что $f""(x)$ является отрицательной функцией на всей области определения $x>0$.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция $f(x)$ не имеет локальных минимумов, так как значение $f(x)$ было монотонно возрастающим и стало монотонно убывающим.

- Функция $f(x)$ имеет локальный максимум при $x=4$, так как значение $f(x)$ было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

6. Определим монотонность и экстремумы функции $f(x)=32\ln (x)-x^2$:

Мы уже проанализировали эту функцию в задаче 5. В результате, мы установили, что она монотонно возрастает на интервале $(0,4)$ и монотонно убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-4)$ и $(4,+\mathrm{\infty })$. Также, мы обнаружили, что у функции есть локальный максимум при $x=4$ и не имеется локальных минимумов.

7. Проанализируем функцию с точки зрения монотонности и экстремумов $f(x)=32\ln (x)-x^2$:

Мы уже провели полный анализ данной функции в предыдущих задачах. В результате, мы пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервале $(0,4)$ и монотонно убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-4)$ и $(4,+\mathrm{\infty })$. Также, мы определили наличие локального максимума при $x=4$ и отсутствие локальных минимумов.

8. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции $f(x)=32\ln (x)-x^2$:

Мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервале $(0,4)$ и монотонно убывает на интервалах $(-\mathrm{\infty },-4)$ и $(4,+\mathrm{\infty })$. Также, мы выяснили, что у функции есть локальный максимум при $x=4$ и отсутствуют локальные минимумы.

Пожалуйста, используйте данный анализ для изучения монотонности и экстремумов данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!