1. Исследуйте на присутствие монотонности и экстремумов функцию: а) f(x) = (x+1)^2(x-2) 2. Определите монотонность

Магия_Звезд_9832

67

Хорошо, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Исследуем на присутствие монотонности и экстремумов функцию \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\):

Для начала, определим область определения функции \(f(x)\). В данном случае, функция определена для всех значений \(x\).

Теперь исследуем на монотонность. Для этого найдем первую производную функции и проверим её знак на интервалах.

\[f"(x) = 2(x+1)(x-2) + (x+1)^2 = (x+1)[2(x-2) + (x+1)] = (x+1)(3x-3)\]

Мы видим, что \(f"(x)\) равна нулю при \(x = -1\) и \(x = 1\). Теперь рассмотрим знак \(f"(x)\) на разных интервалах:

- Если \(x < -1\), то \(f"(x) < 0\) (знак "-").

- Если \(-1 < x < 1\), то \(f"(x) > 0\) (знак "+").

- Если \(x > 1\), то \(f"(x) > 0\) (знак "+").

Таким образом, функция \(f(x)\) монотонно возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\), и монотонно убывает на интервале \((-1, 1)\).

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

\[f""(x) = (x+1)(3)\]

Мы видим, что \(f""(x)\) является постоянной функцией и не меняет свой знак ни на каком интервале.

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция \(f(x)\) имеет локальный минимум при \(x = -1\), т.к. значение \(f(x)\) было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

- Функция \(f(x)\) не имеет локальных максимумов, так как значение \(f(x)\) было монотонно возрастающим и продолжает быть монотонно возрастающим.

2. Определим монотонность и экстремумы функции \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\):

Мы уже рассмотрели эту функцию в предыдущей задаче и пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\), и монотонно убывает на интервале \((-1, 1)\). Также, мы выяснили, что у функции есть локальный минимум при \(x = -1\) и отсутствуют локальные максимумы.

3. Проанализируем функцию для определения монотонности и экстремумов \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\):

Мы уже провели полный анализ этой функции в задачах 1 и 2. Таким образом, функция \(f(x)\) монотонно возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\), монотонно убывает на интервале \((-1, 1)\), имеет локальный минимум при \(x = -1\), и не имеет локальных максимумов.

4. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции \(f(x) = (x+1)^2(x-2)\):

Опять же, мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\), монотонно убывает на интервале \((-1, 1)\), имеет локальный минимум при \(x = -1\), и не имеет локальных максимумов.

5. Исследуем на монотонность и поиск экстремумов функцию \(f(x) = 32 \ln(x) - x^2\):

Для начала, определим область определения функции \(f(x)\). В данном случае, функция определена для значений \(x\) больших нуля, т.е. \(x > 0\).

Теперь исследуем на монотонность. Найдем первую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

\[f"(x) = \frac{32}{x} - 2x\]

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, решим уравнение \(f"(x) = 0\):

\(\frac{32}{x} - 2x = 0\)

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

\(\frac{32 - 2x^2}{x} = 0\)

Упрощаем:

\(32 - 2x^2 = 0\)

Решим полученное квадратное уравнение:

\(2x^2 = 32\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \pm 4\)

Мы получили две точки пересечения графика функции \(f(x)\) с осью абсцисс: \(x = 4\) и \(x = -4\).

Теперь рассмотрим знак \(f"(x)\) на различных интервалах:

- Если \(0 < x < 4\), то \(f"(x) > 0\) (знак "+").

- Если \(x > 4\), то \(f"(x) < 0\) (знак "-").

- Если \(x < -4\), то \(f"(x) < 0\) (знак "-").

Таким образом, функция \(f(x)\) монотонно возрастает на интервале \((0, 4)\) и монотонно убывает на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((4, +\infty)\).

Теперь перейдем к поиску экстремумов функции. Для этого найдем вторую производную функции и проверим ее знак на интервалах.

\[f""(x) = -\frac{32}{x^2} - 2\]

Мы видим, что \(f""(x)\) является отрицательной функцией на всей области определения \(x > 0\).

Исходя из этого, мы можем сделать следующие выводы:

- Функция \(f(x)\) не имеет локальных минимумов, так как значение \(f(x)\) было монотонно возрастающим и стало монотонно убывающим.

- Функция \(f(x)\) имеет локальный максимум при \(x = 4\), так как значение \(f(x)\) было монотонно убывающим и стало монотонно возрастающим.

6. Определим монотонность и экстремумы функции \(f(x) = 32 \ln(x) - x^2\):

Мы уже проанализировали эту функцию в задаче 5. В результате, мы установили, что она монотонно возрастает на интервале \((0, 4)\) и монотонно убывает на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((4, +\infty)\). Также, мы обнаружили, что у функции есть локальный максимум при \(x = 4\) и не имеется локальных минимумов.

7. Проанализируем функцию с точки зрения монотонности и экстремумов \(f(x) = 32 \ln(x) - x^2\):

Мы уже провели полный анализ данной функции в предыдущих задачах. В результате, мы пришли к выводу, что она монотонно возрастает на интервале \((0, 4)\) и монотонно убывает на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((4, +\infty)\). Также, мы определили наличие локального максимума при \(x = 4\) и отсутствие локальных минимумов.

8. Проведем исследование монотонности и экстремумов функции \(f(x) = 32 \ln(x) - x^2\):

Мы уже провели исследование данной функции в предыдущих задачах. Мы установили, что она монотонно возрастает на интервале \((0, 4)\) и монотонно убывает на интервалах \((- \infty, -4)\) и \((4, +\infty)\). Также, мы выяснили, что у функции есть локальный максимум при \(x = 4\) и отсутствуют локальные минимумы.

Пожалуйста, используйте данный анализ для изучения монотонности и экстремумов данных функций. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!