Найдите значение выражения 10 син α кос α при условии, что син α + кос α равно

Крошка

23

Чтобы найти значение выражения \(10 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\), при условии, что \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\) равно некоторому числу, нужно использовать тригонометрические тождества и алгебру.

Для начала, вспомним тригонометрическую формулу суммы двух углов:
\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

Заметим, что если в данном случае у нас есть \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\), то мы можем считать это как сумму двух углов, где один угол является \(\alpha\), а другой угол - \(90^\circ\).

Тогда:
\[\sin(\alpha + 90^\circ) = \sin(\alpha)\cos(90^\circ) + \cos(\alpha)\sin(90^\circ)\]

Используя значение синуса и косинуса 90 градусов (которые равны соответственно 1 и 0), мы можем упростить уравнение:
\[\sin(\alpha + 90^\circ) = \sin(\alpha) \cdot 0 + \cos(\alpha) \cdot 1\]
\[\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)\]

Таким образом, мы можем сказать, что \(\sin(\alpha + 90^\circ) = \cos(\alpha)\).

Теперь вернемся к исходному выражению \(10 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\). Мы можем его переписать, используя новые знания:
\[10 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = 10 \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha + 90^\circ)\]

С помощью тригонометрического тождества произведения синусов:
\[10 \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha + 90^\circ) = 5 \sin(2\alpha)\]

Таким образом, значение выражения \(10 \sin(\alpha) \cos(\alpha)\), при условии, что \(\sin(\alpha) + \cos(\alpha)\) равно некоторому числу, будет равно \(5 \sin(2\alpha)\).