1. Как часто за 1,4 минуты кинетическая энергия математического маятника достигает максимального значения, если

Yakor

45

Задача 1:
Для решения этой задачи нам нужно определить период колебаний маятника. Период обозначается символом T и выражается в секундах.

По формуле для периода колебаний математического маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

где L - длина маятника, g - ускорение свободного падения.

Подставим известные значения:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{2,7}{9,8}}\approx 2\pi \sqrt{0,2755}\approx 2,767\text{сек}$$

Теперь нам нужно определить, как часто кинетическая энергия достигает максимального значения.
Максимальная кинетическая энергия достигается в моменты, когда маятник проходит через положение равновесия. Такие моменты происходят дважды за каждый период колебаний маятника.

Поделим период на 2, чтобы получить время, через которое кинетическая энергия достигает максимального значения:
$$t=\frac{T}{2}=\frac{2,767}{2}=1,3835\text{сек}$$

Таким образом, кинетическая энергия математического маятника достигает максимального значения примерно раз в 1,38 секунды в течение 1,4 минуты.

Задача 2:
Сначала определим период колебаний пружинного маятника. Период обозначается символом T и выражается в секундах.

По формуле для периода колебаний пружинного маятника:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

где m - масса груза, k - жесткость пружины.

Подставим известные значения:
$$T=2\pi \sqrt{\frac{0,15}{20}}\approx 2\pi \sqrt{0,0075}\approx 0,924\text{сек}$$

Теперь мы можем найти амплитуду колебаний. Амплитуда обозначается символом A и измеряется в метрах.

Чтобы найти амплитуду, воспользуемся формулой:

$$E_{\text{пот}}=\frac{1}{2}k{A}^2$$

где E_{\text{пот}} - полная энергия системы, k - жесткость пружины, A - амплитуда колебаний.

Подставим известные значения:
$$66=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot A^2$$
$$A^2=\frac{66}{10}$$
$$A\approx \sqrt{6,6}\approx 2,57\text{м}$$

Теперь мы можем найти максимальную скорость груза. Максимальная скорость обозначается символом v_{\text{макс}} и измеряется в метрах в секунду.

Чтобы найти максимальную скорость, воспользуемся формулой:

$$v_{\text{макс}}=A\cdot \omega$$

где \omega - угловая скорость, которую можно найти по формуле:

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

Подставим известные значения:
$$\omega =\frac{2\pi }{0,924}\approx 6,829\text{рад/с}$$
$$v_{\text{макс}}=2,57\cdot 6,829\approx 17,55\text{м/с}$$

Таким образом, амплитуда колебаний равна примерно 2,57 метра, период колебаний равен примерно 0,924 секунды, а максимальная скорость груза составляет примерно 17,55 м/с. Все ответы округляем до сотых.