1. Как часто за 1,4 минуты кинетическая энергия математического маятника достигает максимального значения, если
1. Как часто за 1,4 минуты кинетическая энергия математического маятника достигает максимального значения, если его длина 2,7 метра? При расчетах используйте π=3,14 и g=9,8 м/с².
2. Для груза массой 150 г, подвешенного на пружине жесткостью 20 Н/м, определите амплитуду и период колебаний, а также максимальную скорость груза, если полная энергия колебаний составляет 66 Дж. При расчетах используйте g=9,8 м/с² и π=3,14. Ответы округлите до сотых.
2. Для груза массой 150 г, подвешенного на пружине жесткостью 20 Н/м, определите амплитуду и период колебаний, а также максимальную скорость груза, если полная энергия колебаний составляет 66 Дж. При расчетах используйте g=9,8 м/с² и π=3,14. Ответы округлите до сотых.
Yakor 45
Задача 1:Для решения этой задачи нам нужно определить период колебаний маятника. Период обозначается символом T и выражается в секундах.
По формуле для периода колебаний математического маятника:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]
где L - длина маятника, g - ускорение свободного падения.
Подставим известные значения:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{2,7}{9,8}} \approx 2\pi\sqrt{0,2755} \approx 2,767 \, \text{сек} \]
Теперь нам нужно определить, как часто кинетическая энергия достигает максимального значения.
Максимальная кинетическая энергия достигается в моменты, когда маятник проходит через положение равновесия. Такие моменты происходят дважды за каждый период колебаний маятника.
Поделим период на 2, чтобы получить время, через которое кинетическая энергия достигает максимального значения:
\[ t = \frac{T}{2} = \frac{2,767}{2} = 1,3835 \, \text{сек} \]
Таким образом, кинетическая энергия математического маятника достигает максимального значения примерно раз в 1,38 секунды в течение 1,4 минуты.
Задача 2:
Сначала определим период колебаний пружинного маятника. Период обозначается символом T и выражается в секундах.
По формуле для периода колебаний пружинного маятника:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
где m - масса груза, k - жесткость пружины.
Подставим известные значения:
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{0,15}{20}} \approx 2\pi\sqrt{0,0075} \approx 0,924 \, \text{сек} \]
Теперь мы можем найти амплитуду колебаний. Амплитуда обозначается символом A и измеряется в метрах.
Чтобы найти амплитуду, воспользуемся формулой:
\[ E_{\text{пот}} = \frac{1}{2} k A^2 \]
где E_{\text{пот}} - полная энергия системы, k - жесткость пружины, A - амплитуда колебаний.
Подставим известные значения:
\[ 66 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot A^2 \]
\[ A^2 = \frac{66}{10} \]
\[ A \approx \sqrt{6,6} \approx 2,57 \, \text{м} \]
Теперь мы можем найти максимальную скорость груза. Максимальная скорость обозначается символом v_{\text{макс}} и измеряется в метрах в секунду.
Чтобы найти максимальную скорость, воспользуемся формулой:
\[ v_{\text{макс}} = A \cdot \omega \]
где \omega - угловая скорость, которую можно найти по формуле:
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \]
Подставим известные значения:
\[ \omega = \frac{2\pi}{0,924} \approx 6,829 \, \text{рад/с} \]
\[ v_{\text{макс}} = 2,57 \cdot 6,829 \approx 17,55 \, \text{м/с} \]
Таким образом, амплитуда колебаний равна примерно 2,57 метра, период колебаний равен примерно 0,924 секунды, а максимальная скорость груза составляет примерно 17,55 м/с. Все ответы округляем до сотых.