1. Как найти пятый член геометрической прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель равен -3? 2. Как найти

Kuznec

62

Для решения задач с геометрической прогрессией нам понадобятся формулы, связанные с этой прогрессией. Для начала, давайте вспомним определение геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на определенное число, называемое знаменателем прогрессии.

1. Для нахождения пятого члена геометрической прогрессии с первым членом 2 и знаменателем -3, мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

В данной задаче, первый член \(a_1\) равен 2, знаменатель \(r\) равен -3, и мы хотим найти пятый член, то есть \(a_5\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[a_5 = 2 \cdot (-3)^{(5-1)} = 2 \cdot (-3)^4 = 2 \cdot 81 = 162\]

Таким образом, пятый член геометрической прогрессии с первым членом 2 и знаменателем -3 равен 162.

2. Для нахождения седьмого члена геометрической прогрессии с шестым членом 4 и четвертым членом 9, мы также будем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

В данной задаче, шестой член \(a_6\) равен 4, а четвертый член \(a_4\) равен 9. Мы хотим найти седьмой член, то есть \(a_7\).

Мы знаем, что

\[a_6 = a_1 \cdot r^{(6-1)} = a_1 \cdot r^5\]
\[a_4 = a_1 \cdot r^{(4-1)} = a_1 \cdot r^3\]

Мы можем решить систему уравнений, состоящую из этих двух уравнений, чтобы найти значения \(a_1\) и \(r\):

\[\begin{cases} 4 = a_1 \cdot r^5\\ 9 = a_1 \cdot r^3 \end{cases}\]

Разделим первое уравнение на второе, чтобы избавиться от \(a_1\):

\[\frac{4}{9} = \frac{a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^3} = \frac{r^5}{r^3} = r^{(5-3)} = r^2\]

Таким образом, получаем уравнение:

\[r^2 = \frac{4}{9}\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

\[r = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}\]

Так как геометрическая прогрессия в этой задаче имеет отрицательные значения, у нас есть только одно возможное значение знаменателя \(r = -\frac{2}{3}\).

Теперь, чтобы найти первый член \(a_1\), подставим \(r = -\frac{2}{3}\) в одно из первых уравнений:

\[4 = a_1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^5\]

Решая это уравнение, получаем:

\[a_1 = \frac{4}{\left(-\frac{2}{3}\right)^5} = \frac{4}{\frac{32}{243}} = \frac{4 \cdot 243}{32} = \frac{972}{32} = 30.375\]

Теперь мы можем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии для нахождения седьмого члена:

\[a_7 = a_1 \cdot r^{(7-1)} = 30.375 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^6 = 30.375 \cdot \frac{64}{729} = 2.65625\]

Таким образом, седьмой член геометрической прогрессии с шестым членом 4 и четвертым членом 9 равен 2.65625.

3. Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии, если отношение суммы пятого и шестого членов к сумме третьего и четвертого членов равно 4, мы снова будем использовать формулу общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

У нас есть следующие суммы:

\[S_{56} = a_5 + a_6\]
\[S_{34} = a_3 + a_4\]

И мы знаем, что:

\[\frac{S_{56}}{S_{34}} = 4\]

Тогда:

\[\frac{a_5 + a_6}{a_3 + a_4} = 4\]

Подставим формулу общего члена в данное уравнение:

\[\frac{a_1 \cdot r^4 + a_1 \cdot r^5}{a_1 \cdot r^2 + a_1 \cdot r^3} = 4\]

Сократим \(a_1\) и переставим слагаемые:

\[\frac{r^4 + r^5}{r^2 + r^3} = 4\]

Перекрестно умножим, чтобы избавиться от дроби:

\[(r^4 + r^5) \cdot 4 = (r^2 + r^3)\]

Раскроем скобки:

\[4r^4 + 4r^5 = r^2 + r^3\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

\[4r^5 + r^3 - r^2 - 4r^4 = 0\]

Вынесем общий множитель:

\[r^2(4r^3 + r - 1) - r^2(4r^2 - 1) = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[4r^5 + r^3 - r^2 - 4r^4 = 0\]

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен 0.

4. Для нахождения суммы первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 27 и знаменателем -3, мы можем воспользоваться формулой суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{a_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r}\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - количество членов прогрессии.

Подставим значения из задачи:

\[S_7 = \frac{27 \cdot (1 - (-3)^7)}{1 - (-3)} = \frac{27 \cdot (1 - 2187)}{4} = \frac{27 \cdot (-2186)}{4} = \frac{-59022}{4} = -14755.5\]

Таким образом, сумма первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 27 и знаменателем -3 равна -14755.5.