3 по тригонометрии. ! 1) Чему равно выражение 3cos(3/2п-а)+1/5cos(п/2-a), если a=5п/2? 2) Какое значение имеет

Радужный_Лист

25

1) Для нахождения значения выражения, подставим значение a = 5п/2 в данные уравнение:
\(3\cos\left(\frac{3}{2}\pi - a\right) + \frac{1}{5}\cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\)

Получаем:
\(3\cos\left(\frac{3}{2}\pi - \frac{5}{2}\pi\right) + \frac{1}{5}\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{5}{2}\pi\right)\)

Упрощаем выражение:
\(3\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{5}\cos\left(-2\pi\right)\)

Так как \(\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0\) и \(\cos(-2\pi) = 1\), можем записать:
\(3 \cdot 0 + \frac{1}{5} \cdot 1\)

Окончательный ответ:
\(\frac{1}{5}\)

2) Раскроем выражение и упростим его:
\(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

Используем формулу для \(\cos(A-B)\):
\(\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)

Подставляем вместо A значение \(\frac{5\pi}{6}\) и вместо B значение \(\frac{\pi}{6}\):
\(\cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6}\right)\)

Упрощаем:
\(\cos\left(\frac{4\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

Так как \(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\), окончательный ответ:
\(-\frac{1}{2}\)

3) Решим уравнение по шагам:

\(\frac{\cos 2x}{\cos^2 x} = \sin(\pi - x) + \frac{\cos x}{\cos x}\)

Перепишем выражения \(\sin(\pi - x)\) и \(\frac{\cos x}{\cos x}\) в другом виде:
\(\frac{\cos 2x}{\cos^2 x} = \sin \pi \cos x - \cos \pi \sin x + \frac{\cos x}{\cos x}\)

Упростим:
\(\frac{\cos 2x}{\cos^2 x} = -\sin x + 1\)

Перенесем все слагаемые на левую сторону:
\(\frac{\cos 2x}{\cos^2 x} + \sin x - 1 = 0\)

Раскроем \(\cos 2x\):
\(\frac{2\cos^2 x - 1}{\cos^2 x} + \sin x - 1 = 0\)

Введем временную переменную \(t = \cos x\):
\(\frac{2t^2 - 1}{t^2} + \sqrt{1 - t^2} - 1 = 0\)

Распишем первое слагаемое:
\(\frac{2t^2 - 1}{t^2} = \frac{1}{t^2} (2t^2 - 1)\)

Упростим уравнение:
\(\frac{1}{t^2} (2t^2 - 1) + \sqrt{1 - t^2} - 1 = 0\)

Умножим обе части уравнения на \(t^2\) для избавления от знаменателей:
\(2t^2 - 1 + t^2 \sqrt{1 - t^2} - t^2 = 0\)

\(3t^2 - 1 + t^2 \sqrt{1 - t^2} = 0\)

Перенесем слагаемые на одну сторону:
\(t^2 \sqrt{1 - t^2} = 1 - 3t^2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(t^4 (1 - t^2) = (1 - 3t^2)^2\)

Раскроем скобки:
\(t^4 - t^6 = 1 - 6t^2 + 9t^4\)

Упростим:
\(t^6 + 8t^4 - 6t^2 - 1 = 0\)

Это уравнение 6-й степени, решение которого достаточно сложно и не может быть представлено в виде выражения с конечным числом шагов. Уравнение можно решить численными методами или графическим способом.