1. Как решить систему уравнений: {2x+y=7 {x^2-y=1? 2. Если периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна

Lyagushka

11

1. Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим эту систему шаг за шагом.

Сначала возьмем первое уравнение:
\(2x + y = 7\) ---(1)

Далее возьмем второе уравнение:
\(x^2 - y = 1\) ---(2)

Мы хотим найти значения x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.

Используя первое уравнение, можно выразить y через x следующим образом:
\(y = 7 - 2x\) ---(3)

Теперь подставим значение y из уравнения (3) во второе уравнение (2):
\(x^2 - (7 - 2x) = 1\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\(x^2 - 7 + 2x = 1\)

Перенесем все члены уравнения влево:
\(x^2 + 2x - 8 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Можно решить его с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или с помощью дискриминанта.

Факторизуя данное уравнение, получим:
\((x + 4)(x - 2) = 0\)

Из этого уравнения получаем два возможных значения для x:
\(x = -4\) или \(x = 2\)

Теперь, используя найденные значения x, мы можем найти соответствующие значения y, подставив их в уравнение (3):

При \(x = -4\), из уравнения (3) получаем:
\(y = 7 - 2(-4) = 7 + 8 = 15\)

При \(x = 2\), из уравнения (3) получаем:
\(y = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3\)

Таким образом, решение системы уравнений:
\(x = -4\), \(y = 15\)
и
\(x = 2\), \(y = 3\)

2. Для нахождения сторон прямоугольника, когда известны его периметр и площадь, можно использовать систему уравнений.

Пусть \(a\) и \(b\) - стороны прямоугольника. Тогда периметр можно выразить следующим образом:
\(2a + 2b = 28\) ---(4)

А площадь:
\(ab = 40\) ---(5)

Мы хотим найти значения \(a\) и \(b\), удовлетворяющие обоим уравнениям.

Решим систему уравнений (4) и (5) методом подстановки.

Из уравнения (4) можно выразить \(a\) через \(b\):
\(a = 14 - b\)

Теперь подставим \(a\) из уравнения (4) в уравнение (5):
\((14 - b)b = 40\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\(14b - b^2 = 40\)

Перенесем все члены уравнения влево:
\(b^2 - 14b + 40 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью факторизации или дискриминанта.

Факторизуя данное уравнение, получим:
\((b - 10)(b - 4) = 0\)

Из этого уравнения получаем два возможных значения для \(b\):
\(b = 10\) или \(b = 4\)

Теперь, используя найденные значения \(b\), мы можем найти соответствующие значения \(a\), подставив их в уравнение (4):

При \(b = 10\), из уравнения (4) получаем:
\(a = 14 - 10 = 4\)

При \(b = 4\), из уравнения (4) получаем:
\(a = 14 - 4 = 10\)

Таким образом, возможные значения для сторон прямоугольника:
\(a = 4\), \(b = 10\)
и
\(a = 10\), \(b = 4\)

3. Чтобы найти точки пересечения параболы \(y = x^2 + 4\) и прямой \(x + y = 6\), нам необходимо решить систему уравнений.

Подставим уравнение параболы в уравнение прямой:
\(x + (x^2 + 4) = 6\)

Раскроем скобку и приведем подобные члены:
\(x + x^2 + 4 = 6\)

Перенесем все члены уравнения влево:
\(x^2 + x - 2 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Решим его с помощью факторизации или дискриминанта.

Факторизуя данное уравнение, получим:
\((x - 1)(x + 2) = 0\)

Из этого уравнения получаем два возможных значения для \(x\):
\(x = 1\) или \(x = -2\)

Теперь, используя найденные значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\), подставив их в уравнение \(x + y = 6\) или \(y = 6 - x\):

При \(x = 1\), из уравнения \(y = 6 - x\) получаем:
\(y = 6 - 1 = 5\)

При \(x = -2\), из уравнения \(y = 6 - x\) получаем:
\(y = 6 - (-2) = 8\)

Таким образом, точки пересечения параболы и прямой:
\(x = 1\), \(y = 5\)
и
\(x = -2\), \(y = 8\)

4. Для решения данной системы уравнений можно использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим эту систему шаг за шагом.

Сначала возьмем первое уравнение:
\(2y - x = 7\) ---(6)

Далее возьмем второе уравнение:
\(x^2 - xy - y^2 = 29\) ---(7)

Мы хотим найти значения x и y, удовлетворяющие обоим уравнениям одновременно.

Используя первое уравнение, можно выразить x через y следующим образом:
\(x = 2y - 7\) ---(8)

Теперь подставим значение x из уравнения (8) во второе уравнение (7):
\((2y - 7)^2 - (2y - 7)y - y^2 = 29\)

Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\(4y^2 - 28y + 49 - 2y^2 + 14y - 7y - y^2 = 29\)

Сгруппируем члены:
\(-y^2 - 21y + 20 = 0\)

Перенесем все члены уравнения влево:
\(y^2 + 21y - 20 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Можно решить его с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или с помощью дискриминанта.

Факторизуя данное уравнение, получим:
\((y + 20)(y - 1) = 0\)

Из этого уравнения получаем два возможных значения для y:
\(y = -20\) или \(y = 1\)

Теперь, используя найденные значения y, мы можем найти соответствующие значения x, подставив их в уравнение (8):

При \(y = -20\), из уравнения (8) получаем:
\(x = 2(-20) - 7 = -40 - 7 = -47\)

При \(y = 1\), из уравнения (8) получаем:
\(x = 2(1) - 7 = 2 - 7 = -5\)

Таким образом, решение системы уравнений:
\(x = -47\), \(y = -20\)
и
\(x = -5\), \(y = 1\)