1) Какие числа из -1, 4√, 10 и 3/10 являются решением неравенства 9x > x+8? 1) 3/10 2) 10 3) 4√ 4) −1 2) Решите

Yaschik

12

1) Для решения неравенства \(9x > x + 8\) нужно собрать все переменные на одной стороне неравенства. Начнем с вычитания \(x\) из обеих частей:

\[9x - x > 8\]

Получаем:

\[8x > 8\]

Чтобы выразить переменную \(x\), разделим обе части неравенства на 8:

\[x > \frac{8}{8}\]

Выполним дальнейшие вычисления:

\[x > 1\]

Таким образом, значение \(x\) должно быть больше 1, чтобы неравенство было истинным. Проверим каждое из предложенных чисел:

1) \(\frac{3}{10}\) - неверно, это не больше 1.
2) 10 - верно, это больше 1.
3) \(4\sqrt{}\) - неверно, нам не известно конкретное значение корня.
4) -1 - неверно, это не больше 1.

Поэтому единственным решением неравенства является число 10. Ответ: 2) 10.

2) Для решения неравенства \(4x - 18 \geq 1\) нужно сначала добавить 18 к обеим сторонам:

\[4x \geq 19\]

Затем, чтобы выразить переменную \(x\), разделим обе части неравенства на 4:

\[x \geq \frac{19}{4}\]

Вычисляем значение:

\[x \geq 4.75\]

Проверим каждое из предложенных вариантов:

1) \(x \geq 2.25\) - неверно, это меньше 4.75.
2) \(x \leq 1.75\) - неверно, это меньше 4.75.
3) \(x \leq 2.25\) - неверно, это меньше 4.75.
4) \(x \geq 1.75\) - верно, это больше или равно 4.75.

Поэтому правильный ответ: 4) \(x \geq 1.75\).

3) Для решения неравенства \((x + 2)^2 - x^2 < \frac{1}{x + 10}\) нужно раскрыть скобки и упростить выражение:

\((x^2 + 4x + 4) - x^2 < \frac{1}{x + 10}\)

\(4x + 4 < \frac{1}{x + 10}\)

Для начала, перенесем все переменные на одну сторону неравенства. Умножим обе части на \(x + 10\) (предполагая, что \(x + 10\) не равно нулю):

\(4x^2 + 40x + 4 < 1\)

\(4x^2 + 40x + 3 < 0\)

Теперь решим квадратное уравнение, чтобы найти интервалы, в которых выполняется неравенство. Можно воспользоваться формулой дискриминанта, но в данном случае проще всего получить множители квадратного трехчлена, чтобы решить его.

Разложим \(4x^2 + 40x + 3\) на множители:

\(4x^2 + 40x + 3 = (2x + 1)(2x + 3)\)

Теперь мы можем записать неравенство в более простой форме:

\((2x + 1)(2x + 3) < 0\)

Чтобы найти интервалы, в которых выполняется неравенство, нужно рассмотреть знаки множителей. Заметим, что произведение двух чисел будет отрицательным только тогда, когда одно из чисел положительно, а другое отрицательно.

Таблица знаков:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& \(-\infty\) & \(-\frac{3}{2}\) & \(-\frac{1}{2}\)\\
\hline
\(2x + 1\) & \(-\) & \(-\) & \(+\)\\
\hline
\(2x + 3\) & \(-\) & \(+\) & \(+\)\\
\hline
\((2x + 1)(2x + 3)\) & \(+\) & \(-\) & \(+\)\\
\hline
\end{tabular}
\]

Таким образом, неравенство выполняется, когда \(x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)\).

Ответ: \(x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (-\frac{1}{2}, +\infty)\).

4) Для решения неравенства \(-(9d + 4) + (d - 13) < 0\) нужно сначала выполнить операции в скобках:

\(-9d - 4 + d - 13 < 0\)

\(-8d - 17 < 0\)

Далее, перенесем все переменные на одну сторону неравенства:

\(-8d < 17\)

Для получения \(d\) в одиночестве, выполним дальнейшие операции:

\(d > -\frac{17}{8}\)

Таким образом, значение \(d\) должно быть больше \(-\frac{17}{8}\), чтобы неравенство было истинным.

Ответ: \(d > -\frac{17}{8}\).

5) Для решения этой задачи сравним значения двучлена \(11k + 5\) и \(7k - 9\). Нам нужно найти значения \(k\), при которых первый двучлен будет меньше второго.

Установим неравенство между двумя двучленами:

\(11k + 5 < 7k - 9\)

Вычтем \(7k\) из обеих частей:

\(4k + 5 < -9\)

Вычитаем 5 из обеих частей:

\(4k < -14\)

Теперь, чтобы выразить \(k\), разделим обе части неравенства на 4 (учитывая, что делаем мы это для положительного числа):

\(k < \frac{-14}{4}\)

Выполним дальнейшие вычисления:

\(k < -3.5\)

Таким образом, значение \(k\) должно быть меньше -3.5, чтобы первый двучлен был меньше второго.

Ответ: \(k < -3.5\).