Каков корень уравнения 6p−4/p = 6p/p+2?

Денис

29

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом, чтобы получить корень. У нас дано уравнение:

\[6p - \frac{4}{p} = \frac{6p}{p+2}\]

Для начала давайте уберем дробные выражения. Мы можем умножить каждую сторону уравнения на \(p(p+2)\), чтобы избавиться от знаменателей:

\[6p(p(p+2)) - 4(p+2) = 6p(p)\]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[6p^3 + 12p^2 - 4p - 8 = 6p^2\]

Теперь соберем все показатели \(p\) на левой стороне уравнения и перенесем все числа на правую сторону:

\[6p^3 + (12p^2 - 6p^2) - 4p - 8 = 0\]

\[6p^3 + 6p^2 - 4p - 8 = 0\]

Давайте попробуем облегчить уравнение, разделив все его члены на 2:

\[3p^3 + 3p^2 - 2p - 4 = 0\]

Теперь, при помощи метода декартовых множителей или разложения на множители, попробуем найти рациональный корень этого уравнения. Мы можем приступить к проверке значений \(p = \pm 1, \pm 2, \pm 4\) с помощью третьего правила Декарта:

Подставим \(p = 1\):
\[3(1)^3 + 3(1)^2 - 2(1) - 4 = 0\]
\[3 + 3 - 2 - 4 = 0\]
\[0 = 0\]

Получили равенство, что означает, что \(p = 1\) является одним из корней уравнения.

Теперь, используя синтетическое деление, найдем остальные корни:

3 | 3 3 -2 -4
| 9 36 102
|__________________
3 12 34 98

Таким образом, мы получаем новое уравнение:

\[3p^2 + 12p + 34 + \frac{98}{3p - 3} = 0\]

Найдем остаток при делении \(\frac{98}{3p - 3}\) и упростим уравнение:

\[3p^2 + 12p + 34 + \frac{98}{3p - 3} = 0\]

\[3p^2 + 12p + 34 = 0\]

Теперь давайте воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти оставшийся два корня:

Дискриминант \(D\) может быть найден по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = 12\) и \(c = 34\).

\[D = (12)^2 - 4(3)(34)\]
\[D = 144 - 408\]
\[D = -264\]

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет рациональных корней, но мы можем найти комплексные корни. Используя формулы для нахождения корней квадратного уравнения, получаем:

\[p = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{-264}}{2(3)} = \frac{-12 + \sqrt{264}i}{6} = -2 + 2\sqrt{11}i\]

\[p = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{-264}}{2(3)} = \frac{-12 - \sqrt{264}i}{6} = -2 - 2\sqrt{11}i\]

Таким образом, корни уравнения \(6p - \frac{4}{p} = \frac{6p}{p+2}\) равны \(p = 1, -2 + 2\sqrt{11}i, -2 - 2\sqrt{11}i\).