1. Какие измерения у прямоугольного параллелепипеда, если его основанием является квадрат, диагональ равна 6см

Yachmen_5149

7

1. Пусть сторона основания квадрата равна \(x\) см. Тогда диагональ квадрата равна \(x\sqrt{2}\) см. Поскольку диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, у нас есть уравнение \[x\sqrt{2} = 6.\]
Разделим оба выражения на \(\sqrt{2}\), чтобы найти значение \(x:\)
\[x = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.\]
Соотношение измерений равно 1:1:2, поэтому имеем:
Длина = \(x = 3\sqrt{2}\) см,
Ширина = \(x = 3\sqrt{2}\) см,
Высота = 2x = 2(3\(\sqrt{2}\)) см = \(6\sqrt{2}\) см.

2. Для прологарифмирования данного выражения по основанию 3 используем свойство логарифмов: \(\log_a(b \cdot c) = \log_a(b) + \log_a(c)\).
Применим это свойство:

\[\log_3\left(81 \cdot \frac{2}{a^3} \cdot \frac{1}{b^4} \cdot c^5\right) = \log_3(81) + \log_3\left(\frac{2}{a^3}\right) + \log_3\left(\frac{1}{b^4}\right) + \log_3(c^5).\]

Упростим каждый логарифм с помощью свойств логарифмов:

\[\log_3(81) + \log_3\left(\frac{2}{a^3}\right) + \log_3\left(\frac{1}{b^4}\right) + \log_3(c^5) = 4 + \log_3(2) - 3\log_3(a) - 4\log_3(b) + 5\log_3(c).\]

3. а) Линии PK и AB будут лежать в одной плоскости, так как они обе содержат общую сторону AC, и плоскость ABC лежит в одной плоскости с ADC.
б) Угол между линиями PK и AB будет равен углу ABC, так как линии PK и AB будут параллельны и плоскости ABC и ADC будут смежными. Из условия ABC = 40 градусов мы можем сказать, что и угол между линиями PK и AB будет равен 40 градусам.

6. Мы знаем, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\). Следовательно, \(\cot(\alpha) = -3\) означает, что \(\tan(\alpha) = -\frac{1}{3}\).
Так как значение ctgx равно -3, мы находимся во второй или четвертой четверти координатной плоскости. Также нам дано, что \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi\). В четвертой четверти значние тангенса отрицательное. Таким образом, \(\alpha\) лежит в четвертой четверти соответственно.
Находим значение сec и sinq:
\[
\begin{align*}
\sec^2(\alpha) = 1 + \tan^2(\alpha) &= 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9},\\
\sin^2(\alpha) = \frac{1}{1 + \cot^2(\alpha)} &= \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}.
\end{align*}
\]
Так как \(\alpha\) лежит в четвертой четверти, значение косинуса будет отрицательным. Следовательно,
\[
\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}.
\]
\vspace{5mm}
Таким образом, получаем следующие значения:
\(\sec(\alpha) = \sqrt{\frac{10}{9}}\),
\(\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{1}{10}}\),
\(\cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{9}{10}}\).