Необходимо доказать, что у двух выпуклых четырёхугольников, у которых три стороны и два угла между ними равны, также

Yarus

53

Для доказательства равенства четвертых сторон у двух выпуклых четырёхугольников соответствующие элементы двух фигур следует сравнить.

Пусть у нас есть два четырёхугольника: ABCD и EFGH. В обоих фигурах три стороны и два угла между ними равны. Обозначим длины этих сторон и углов следующим образом:

В первом четырёхугольнике: AB = EF, BC = FG, CD = GH, ∠ABC = ∠EFG и ∠BCD = ∠FGH.

Тогда, чтобы доказать, что AD = EH, нам необходимо применить теорему косинусов к треугольникам ABD и EHF.

В треугольнике ABD, применяя теорему косинусов, мы можем записать:

\[AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABC)\]

Аналогично, для треугольника EHF:

\[EH^2 = EF^2 + FH^2 - 2 \cdot EF \cdot FH \cdot \cos(\angle EFG)\]

Так как AB = EF, BC = FG, CD = GH, ∠ABC = ∠EFG и ∠BCD = ∠FGH, мы можем заменить соответствующие значения:

\[AD^2 = EF^2 + BD^2 - 2 \cdot EF \cdot BD \cdot \cos(\angle EFG)\]

\[EH^2 = EF^2 + FH^2 - 2 \cdot EF \cdot FH \cdot \cos(\angle EFG)\]

Поскольку EF^2 будет сокращаться на обеих сторонах, мы получим:

\[AD^2 - BD^2 = EH^2 - FH^2\]

Теперь мы можем применить разность квадратов:

\[(AD + BD)(AD - BD) = (EH + FH)(EH - FH)\]

Стало быть, мы получили:

\[AD + BD = EH + FH\]

Поскольку BD и FH равны (BD = FH), мы можем отнять их из обеих сторон:

\[AD = EH\]

Таким образом, мы доказали, что у двух выпуклых четырёхугольников, у которых три стороны и два угла между ними равны, равны и четвёртые стороны (AD = EH).