Необходимо доказать, что у двух выпуклых четырёхугольников, у которых три стороны и два угла между ними равны, также
Необходимо доказать, что у двух выпуклых четырёхугольников, у которых три стороны и два угла между ними равны, также равны и четвёртые стороны.
Yarus 53
Для доказательства равенства четвертых сторон у двух выпуклых четырёхугольников соответствующие элементы двух фигур следует сравнить.Пусть у нас есть два четырёхугольника: ABCD и EFGH. В обоих фигурах три стороны и два угла между ними равны. Обозначим длины этих сторон и углов следующим образом:
В первом четырёхугольнике: AB = EF, BC = FG, CD = GH, ∠ABC = ∠EFG и ∠BCD = ∠FGH.
Тогда, чтобы доказать, что AD = EH, нам необходимо применить теорему косинусов к треугольникам ABD и EHF.
В треугольнике ABD, применяя теорему косинусов, мы можем записать:
\[AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos(\angle ABC)\]
Аналогично, для треугольника EHF:
\[EH^2 = EF^2 + FH^2 - 2 \cdot EF \cdot FH \cdot \cos(\angle EFG)\]
Так как AB = EF, BC = FG, CD = GH, ∠ABC = ∠EFG и ∠BCD = ∠FGH, мы можем заменить соответствующие значения:
\[AD^2 = EF^2 + BD^2 - 2 \cdot EF \cdot BD \cdot \cos(\angle EFG)\]
\[EH^2 = EF^2 + FH^2 - 2 \cdot EF \cdot FH \cdot \cos(\angle EFG)\]
Поскольку EF^2 будет сокращаться на обеих сторонах, мы получим:
\[AD^2 - BD^2 = EH^2 - FH^2\]
Теперь мы можем применить разность квадратов:
\[(AD + BD)(AD - BD) = (EH + FH)(EH - FH)\]
Стало быть, мы получили:
\[AD + BD = EH + FH\]
Поскольку BD и FH равны (BD = FH), мы можем отнять их из обеих сторон:
\[AD = EH\]
Таким образом, мы доказали, что у двух выпуклых четырёхугольников, у которых три стороны и два угла между ними равны, равны и четвёртые стороны (AD = EH).