1. Какие координаты имеют точки и , если известно, что точка — находится в середине отрезка , а точка — находится

Morzh

31

1. Чтобы найти координаты точек A и B, которые находятся в середине отрезков CD и EF соответственно, мы можем использовать среднее значение координат точек C и D, а также среднее значение координат точек E и F. Это можно выразить следующим образом:

\[
A = \left(\frac{{x_C + x_D}}{2}, \frac{{y_C + y_D}}{2}\right)
\]
\[
B = \left(\frac{{x_E + x_F}}{2}, \frac{{y_E + y_F}}{2}\right)
\]

Подставим известные значения координат:

\[
A = \left(\frac{{3 + 9}}{2}, \frac{{5 + 12}}{2}\right) = \left(\frac{{12}}{2}, \frac{{17}}{2}\right) = (6, 8.5)
\]
\[
B = \left(\frac{{1 + 7}}{2}, \frac{{10 + 2}}{2}\right) = \left(\frac{{8}}{2}, \frac{{12}}{2}\right) = (4, 6)
\]

Таким образом, координаты точки A равны (6, 8.5), а координаты точки B равны (4, 6).

2. Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы должны проверить следующие условия:

- Проверить, являются ли противоположные стороны параллельными.
- Проверить, являются ли противоположные стороны равными.

По условию задачи, у нас заданы координаты вершин ABCD, которые равны (13, 4), (15, 8), (7, 12) и (5, 8) соответственно.

1) Проверка параллельности сторон:

Мы можем использовать формулу наклона прямой для проверки параллельности двух отрезков. Если наклоны равны, то стороны параллельны.

Наклон отрезка AB:
\[
m_{AB} = \frac{{y_B - y_A}}{{x_B - x_A}} = \frac{{8 - 4}}{{15 - 13}} = \frac{4}{2} = 2
\]

Наклон отрезка CD:
\[
m_{CD} = \frac{{y_D - y_C}}{{x_D - x_C}} = \frac{{8 - 12}}{{5 - 7}} = \frac{{-4}}{{-2}} = 2
\]

Наклон отрезка BC:
\[
m_{BC} = \frac{{y_C - y_B}}{{x_C - x_B}} = \frac{{12 - 8}}{{7 - 15}} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}
\]

Наклон отрезка AD:
\[
m_{AD} = \frac{{y_D - y_A}}{{x_D - x_A}} = \frac{{8 - 4}}{{5 - 13}} = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}
\]

Как видно из вычислений, наклоны прямых AB и CD равны 2, а наклоны прямых BC и AD равны -1/2. Следовательно, противоположные стороны параллельны.

2) Проверка равенства противоположных сторон:

Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для вычисления длины сторон AB, BC, CD и DA.

Длина отрезка AB:
\[
d_{AB} = \sqrt{{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}} = \sqrt{{(15 - 13)^2 + (8 - 4)^2}} = \sqrt{{4 + 16}} = \sqrt{20}
\]

Длина отрезка BC:
\[
d_{BC} = \sqrt{{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}} = \sqrt{{(7 - 15)^2 + (12 - 8)^2}} = \sqrt{{64 + 16}} = \sqrt{80}
\]

Длина отрезка CD:
\[
d_{CD} = \sqrt{{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}} = \sqrt{{(5 - 7)^2 + (8 - 12)^2}} = \sqrt{{4 + 16}} = \sqrt{20}
\]

Длина отрезка DA:
\[
d_{DA} = \sqrt{{(x_A - x_D)^2 + (y_A - y_D)^2}} = \sqrt{{(13 - 5)^2 + (4 - 8)^2}} = \sqrt{{64 + 16}} = \sqrt{80}
\]

Проверка равенства сторон показывает, что длины отрезков AB и CD равны, а также длины BC и DA равны. Следовательно, противоположные стороны равны.

Таким образом, исходя из проверки параллельности и равенства сторон, мы можем заключить, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

3) Вычисление площади прямоугольника:

Для вычисления площади прямоугольника ABCD, мы можем использовать следующую формулу:

Площадь прямоугольника = длина стороны AB * длина стороны BC

Длина стороны AB равна \(\sqrt{20}\), а длина стороны BC равна \(\sqrt{80}\). Подставляем значения:

Площадь прямоугольника = \(\sqrt{20} * \sqrt{80} = \sqrt{1600} = 40\)

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 40.