1. Какие значения имеет десятый член (a_10) и сумма (S_10) первых десяти членов арифметической прогрессии (a_n), если

Elisey

56

1. Для решения этой задачи нам необходимо найти значение десятого члена арифметической прогрессии и сумму первых десяти членов.
В данной прогрессии известны первый член $a_1=2$ и второй член $a_2=6$.
Также нам дано, что это арифметическая прогрессия, значит, между каждыми двумя соседними членами имеется постоянная разность.

Чтобы найти разность ($d$), используем формулу $d=a_2-a_1$:
$$d=6-2=4$$.

Теперь можем найти десятый член ($a_{10}$) с использованием формулы $a_n=a_1+(n-1)\cdot d$:
$$a_{10}=2+(10-1)\cdot 4=2+9\cdot 4=2+36=38$$.

Наконец, можем найти сумму первых десяти членов ($S_{10}$) с использованием формулы $S_n=\frac{n}{2}\cdot (2a_1+(n-1)\cdot d)$:
$$S_{10}=\frac{10}{2}\cdot (2\cdot 2+(10-1)\cdot 4)=5\cdot (4+9\cdot 4)=5\cdot (4+36)=5\cdot 40=200$$.

Таким образом, десятый член арифметической прогрессии $a_{10}$ равен 38, а сумма первых десяти членов $S_{10}$ равна 200.

2. Для решения этой задачи нам необходимо найти значение третьего члена геометрической прогрессии и сумму первых четырёх членов.
В данной прогрессии известны первый член $b_1=-\frac{1}{25}$ и знаменатель $q=5$.
Здесь также между каждыми двумя соседними членами имеется постоянное отношение.

Для нахождения третьего члена можно использовать формулу $b_n=b_1\cdot q^{(n-1)}$:
$b_3=-\frac{1}{25}\cdot 5^{(3-1)}=-\frac{1}{25}\cdot 5^2=-\frac{1}{25}\cdot 25=-1$.

Для нахождения суммы первых четырёх членов используется формула $S_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$:
$S_4=-\frac{1}{25}\cdot \frac{1-5^4}{1-5}=-\frac{1}{25}\cdot \frac{1-625}{1-5}=-\frac{1}{25}\cdot \frac{-624}{-4}=-\frac{1}{25}\cdot 156=-6.24$.

Значит, третий член геометрической прогрессии $b_3$ равен -1, а сумма первых четырёх членов $S_4$ равна -6.24.

3. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо знать первый член прогрессии и её знаменатель.
В данной прогрессии даны первые три члена: -4, 1, -\frac{1}{4}.
Чтобы убедиться в том, что это геометрическая прогрессия, проверим, равно ли отношение любых двух соседних членов константе $q$.
Для первых двух членов получаем $\frac{1}{4}=\frac{-4}{1}$.
Для второго и третьего членов получаем $\frac{-\frac{1}{4}}{1}=\frac{1}{-\frac{1}{4}}$.
В обоих случаях отношение равно 4.
Значит, это геометрическая прогрессия с знаменателем $q=4$.

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии можно использовать формулу $S=\frac{a_1}{1-q}$:
$S=\frac{-4}{1-4}=\frac{-4}{-3}=\frac{4}{3}$.

Получаем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $\frac{4}{3}$.

4. Чтобы найти номер члена арифметической прогрессии, равного 4.9, нужно знать первый член и разность этой прогрессии.
В данной прогрессии даны первый член $a_1=1.4$ и разность $d=0.5$.

Для нахождения номера члена воспользуемся формулой $n=\frac{a_n-a_1}{d}+1$:
$n=\frac{4.9-1.4}{0.5}+1=\frac{3.5}{0.5}+1=7+1=8$.

Таким образом, восьмой член арифметической прогрессии $a_n$ равен 4.9.

5. Чтобы вставить два числа между заданными числами, нужно определить правило геометрической прогрессии между ними.
К сожалению, в задании не указаны первые члены последовательности и знаменатель $q$, поэтому нельзя однозначно определить правило прогрессии.
Если Вы предоставите эти данные, то я смогу помочь вам найти необходимые числа.