1. Какие значения имеет десятый член (a_10) и сумма (S_10) первых десяти членов арифметической прогрессии (a_n), если

Elisey

56

1. Для решения этой задачи нам необходимо найти значение десятого члена арифметической прогрессии и сумму первых десяти членов.
В данной прогрессии известны первый член \(a_1 = 2\) и второй член \(a_2 = 6\).
Также нам дано, что это арифметическая прогрессия, значит, между каждыми двумя соседними членами имеется постоянная разность.

Чтобы найти разность (\(d\)), используем формулу \(d = a_2 - a_1\):
\[d = 6 - 2 = 4\].

Теперь можем найти десятый член (\(a_{10}\)) с использованием формулы \(a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\):
\[a_{10} = 2 + (10 - 1) \cdot 4 = 2 + 9 \cdot 4 = 2 + 36 = 38\].

Наконец, можем найти сумму первых десяти членов (\(S_{10}\)) с использованием формулы \(S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) \cdot d)\):
\[S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (10 - 1) \cdot 4) = 5 \cdot (4 + 9 \cdot 4) = 5 \cdot (4 + 36) = 5 \cdot 40 = 200\].

Таким образом, десятый член арифметической прогрессии \(a_{10}\) равен 38, а сумма первых десяти членов \(S_{10}\) равна 200.

2. Для решения этой задачи нам необходимо найти значение третьего члена геометрической прогрессии и сумму первых четырёх членов.
В данной прогрессии известны первый член \(b_1 = -\frac{1}{25}\) и знаменатель \(q = 5\).
Здесь также между каждыми двумя соседними членами имеется постоянное отношение.

Для нахождения третьего члена можно использовать формулу \(b_n = b_1 \cdot q^{(n - 1)}\):
\(b_3 = -\frac{1}{25} \cdot 5^{(3 - 1)} = -\frac{1}{25} \cdot 5^2 = -\frac{1}{25} \cdot 25 = -1\).

Для нахождения суммы первых четырёх членов используется формула \(S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\):
\(S_4 = -\frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 5^4}{1 - 5} = -\frac{1}{25} \cdot \frac{1 - 625}{1 - 5} = -\frac{1}{25} \cdot \frac{-624}{-4} = -\frac{1}{25} \cdot 156 = -6.24\).

Значит, третий член геометрической прогрессии \(b_3\) равен -1, а сумма первых четырёх членов \(S_4\) равна -6.24.

3. Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, необходимо знать первый член прогрессии и её знаменатель.
В данной прогрессии даны первые три члена: -4, 1, -\frac{1}{4}.
Чтобы убедиться в том, что это геометрическая прогрессия, проверим, равно ли отношение любых двух соседних членов константе \(q\).
Для первых двух членов получаем \(\frac{1}{4} = \frac{-4}{1}\).
Для второго и третьего членов получаем \(\frac{-\frac{1}{4}}{1} = \frac{1}{-\frac{1}{4}}\).
В обоих случаях отношение равно 4.
Значит, это геометрическая прогрессия с знаменателем \(q = 4\).

Для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии можно использовать формулу \(S = \frac{a_1}{1 - q}\):
\(S = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}\).

Получаем, что сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(\frac{4}{3}\).

4. Чтобы найти номер члена арифметической прогрессии, равного 4.9, нужно знать первый член и разность этой прогрессии.
В данной прогрессии даны первый член \(a_1 = 1.4\) и разность \(d = 0.5\).

Для нахождения номера члена воспользуемся формулой \(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\):
\(n = \frac{4.9 - 1.4}{0.5} + 1 = \frac{3.5}{0.5} + 1 = 7 + 1 = 8\).

Таким образом, восьмой член арифметической прогрессии \(a_n\) равен 4.9.

5. Чтобы вставить два числа между заданными числами, нужно определить правило геометрической прогрессии между ними.
К сожалению, в задании не указаны первые члены последовательности и знаменатель \(q\), поэтому нельзя однозначно определить правило прогрессии.
Если Вы предоставите эти данные, то я смогу помочь вам найти необходимые числа.