1. Какое наименьшее значение принимает функция у=х³+14х²+64х+96 на интервале [-4; 2]? 2. Где находится точка максимума

Artemovich

38

Задача 1. Для определения наименьшего значения функции \(у = х³ + 14х² + 64х + 96\) на интервале \([-4; 2]\), мы должны найти точку, где функция достигает своего минимума.

Пошаговое решение:
1. Найдем производную функции \(у"\) по переменной \(х\), применяя правила дифференцирования. Для этого проведем дифференцирование по каждому члену функции:
\[у" = \frac{{d}}{{dx}}(х³) + \frac{{d}}{{dx}}(14х²) + \frac{{d}}{{dx}}(64х) + \frac{{d}}{{dx}}(96) = 3х² + 28х + 64.\]

2. Чтобы найти критические точки, где производная равна нулю, решим уравнение \(3х² + 28х + 64 = 0\). Для этого можно использовать формулу дискриминанта: \(D = b² - 4ac\), где у нас \(a = 3\), \(b = 28\), и \(c = 64\).

Вычислим значение дискриминанта:
\[D = 28² - 4 \cdot 3 \cdot 64 = 784 - 768 = 16.\]

3. Поскольку значение дискриминанта \(D > 0\), уравнение \(3х² + 28х + 64 = 0\) имеет два различных вещественных корня. Мы можем применить квадратное уравнение:
\[х = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}.\]

Подставим значения в формулу:
\[х_1 = \frac{{-28 + \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-28 + 4}}{{6}} = \frac{{-24}}{{6}} = -4;\]
\[х_2 = \frac{{-28 - \sqrt{16}}}{{2 \cdot 3}} = \frac{{-28 - 4}}{{6}} = \frac{{-32}}{{6}} = - \frac{{16}}{{3}}.\]

4. Наш следующий шаг - проверить значения \(х_1\), \(-4\) и \(- \frac{{16}}{{3}}\), и концы интервала \([-4; 2]\), для определения наименьшего значения функции.

Подставим значения в исходную функцию:
\[у(-4) = (-4)³ + 14(-4)² + 64(-4) + 96 = -64 + 224 - 256 + 96 = 0;\]
\[у\left(- \frac{{16}}{{3}}\right) = \left(- \frac{{16}}{{3}}\right)³ + 14\left(- \frac{{16}}{{3}}\right)² + 64\left(- \frac{{16}}{{3}}\right) + 96 = - \frac{{128}}{{27}} + \frac{{448}}{{9}} - \frac{{1024}}{3} + 96 = \frac{{320}}{{27}};\]
\[у(2) = 2³ + 14(2)² + 64(2) + 96 = 8 + 56 + 128 + 96 = 288.\]

5. Минимальное значение функции \(у(x)\) на интервале \([-4; 2]\) равно нулю и достигается в точке \(x = -4\).

Ответ: Наименьшее значение функции \(у(x)\) на интервале \([-4; 2]\) равно 0 и достигается в точке \(x = -4\).

Задача 2. Чтобы найти точку максимума функции \(у = (х-2)²(-2х-3)+5\), мы можем использовать метод дифференцирования.

Пошаговое решение:
1. Найдем производную функции \(у"\) по переменной \(х\), используя правила дифференцирования. Для этого проведем дифференцирование по каждому члену функции:
\[у" = \frac{{d}}{{dx}}((х-2)²(-2х-3))+5 = \frac{{d}}{{dx}}((х-2)²) \cdot (-2х-3) + (х-2)² \cdot \frac{{d}}{{dx}}(-2х-3).\]

2. Применим правило дифференцирования для степенной функции и произведения функций:
\[\frac{{d}}{{dx}}((х-2)²) = 2(х-2) \cdot \frac{{d}}{{dx}}(х-2) = 2(х-2),\]
\[\frac{{d}}{{dx}}(-2х-3) = -2.\]

3. Заменим производные обратно в исходную функцию:
\[у" = 2(х-2) \cdot (-2х-3) + (х-2)² \cdot (-2) = -4х² + 4х - 4х + 4 - 2х² + 4х - 4 = -6х² + 4.\]

4. Чтобы найти критические точки, где производная равна нулю, решим уравнение \(у" = -6х² + 4 = 0\).

Поставим уравнение в форму \(х = \frac{{-b}}{{2a}}\), где \(a = -6\), \(b = 0\):
\[х = \frac{{-0}}{{2 \cdot -6}} = 0.\]

5. Следующий шаг - проверить значение \(х = 0\) и концы функции, чтобы определить точку максимума.

Подставим \(х = 0\) в исходную функцию:
\[у(0) = (0-2)²(-2 \cdot 0 - 3) + 5 = 4 \cdot (-3) + 5 = -12 + 5 = -7.\]

6. Для определения точки максимума функции, сравним результаты в предыдущем пункте с концами интервала, если таковые имеются.

Окончательный ответ: Точка максимума функции \(у\) равна (-7, 0), где значение функции достигает максимального значения -7.