Знайдіть діапазони, в яких функція f(x)=8-4x-x^3 зростає і спадає

Zhuravl

53

Хорошо, давайте разберем эту задачу пошагово. Нам нужно найти интервалы, на которых функция \( f(x) = 8 - 4x - x^3 \) возрастает и убывает.

Для начала определимся с тем, что значит "функция возрастает" и "функция убывает". Функция называется возрастающей на интервале, если значения функции увеличиваются по мере увеличения значения аргумента на этом интервале. Функция называется убывающей на интервале, если значения функции уменьшаются по мере увеличения значения аргумента на этом интервале.

Для того чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции, мы можем проанализировать знак производной функции. Если производная положительна на интервале, то функция возрастает, если производная отрицательна на интервале, то функция убывает.

Найдем производную функции \( f(x) \):

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(8 - 4x - x^3) \]

Производная функции -- это производная каждого слагаемого по отдельности. Найдем производные каждого слагаемого:

\[ \frac{d}{dx}(8) = 0 \]
\[ \frac{d}{dx}(-4x) = -4 \]
\[ \frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2 \]

Теперь сложим все производные вместе:

\[ f"(x) = 0 + (-4) + (-3x^2) = -4 - 3x^2 \]

Теперь мы имеем производную функции, и можем проанализировать ее знаки. Для этого мы решим неравенство \( f"(x) > 0 \) для определения интервалов возрастания и неравенство \( f"(x) < 0 \) для определения интервалов убывания.

Решим неравенство \( f"(x) > 0 \):

\[ -4 - 3x^2 > 0 \]

Чтобы решить это неравенство, нам нужно найти значения \( x \), при которых выражение становится положительным. Мы можем записать неравенство в виде двух частей и решить каждую часть отдельно:

1) \( -4 > 0 \) - это всегда неверно, поэтому мы можем его не учитывать.

2) \( -3x^2 > 0 \)
Для решения этого неравенства нам нужно найти значения \( x \), при которых квадрат \( x \) отрицателен. Так как \( x^2 \) -- всегда неотрицательно, то это неравенство не может быть выполнено. Значит, интервалов возрастания нет.

Аналогично решим неравенство \( f"(x) < 0 \):

\[ -4 - 3x^2 < 0 \]

Мы можем записать неравенство в виде двух частей и решить каждую часть отдельно:

1) \( -4 < 0 \) - это всегда верно, поэтому мы можем его учитывать.

2) \( -3x^2 < 0 \)
Для решения этого неравенства нам нужно найти значения \( x \), при которых квадрат \( x \) положителен. Так как \( x^2 \) -- всегда неотрицательно, то это неравенство не может быть выполнено. Значит, интервалов убывания тоже нет.

В итоге, наша функция \( f(x) = 8 - 4x - x^3 \) не имеет интервалов возрастания и убывания.