1. Какое правильное соотношение между радиусом окружности, вписанной в шестиугольник, и длиной стороны данного

Барсик

52

1. Сначала дадим определение радиуса окружности, вписанной в шестиугольник. Радиус вписанной окружности - это отрезок, проведенный из центра шестиугольника до любой из его вершин. Теперь перейдем к решению задачи.

a) Радиус вписанной окружности равен длине стороны шестиугольника.
Это неверно. Радиус вписанной окружности всегда меньше длины стороны шестиугольника.

б) Радиус вписанной окружности равен \(a\sqrt{3}/2\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника.
Это неверно. Радиус вписанной окружности можно выразить через формулу \(r = a/(2\sqrt{3})\).

в) Радиус вписанной окружности равен \(a/2\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника.
Это неверно. Радиус вписанной окружности всегда меньше половины длины стороны шестиугольника.

г) Радиус вписанной окружности равен \(a/\sqrt{3}\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника.
Это верно. Радиус вписанной окружности можно выразить через формулу \(r = a/\sqrt{3}\).

Таким образом, правильным соотношением между радиусом окружности и длиной стороны шестиугольника является \(r = a/\sqrt{3}\).

2. Угол внутри правильного многоугольника равен 108 градусам. Чтобы найти количество сторон многоугольника, используем формулу для суммы внутренних углов многоугольника.
Формула для суммы внутренних углов многоугольника: \((n-2) \cdot 180\), где \(n\) - количество сторон многоугольника.

Подставим известные значения в формулу: \((n-2) \cdot 180 = 108\).

Решим уравнение: \((n-2) \cdot 180 = 108 \Rightarrow n-2 = \frac{108}{180} \Rightarrow n-2 = \frac{3}{5} \Rightarrow n = \frac{3}{5} + 2\).

n = 5.

Таким образом, количество сторон у данного многоугольника равно 5.

3. Если площадь круга увеличиться в 9 раз, то насколько увеличится его радиус?

Пусть \(S\) - исходная площадь круга, а \(S"\) - новая площадь круга.

Так как площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, то можно записать формулу:

\(\frac{S"}{S} = \left(\frac{r"}{r}\right)^2\), где \(r\) - исходный радиус круга, \(r"\) - новый радиус круга.

Если площадь увеличивается в 9 раз, то \(\frac{S"}{S} = 9\).

Подставляя значения в формулу, получаем:

\(9 = \left(\frac{r"}{r}\right)^2\).

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем:

\(\sqrt{9} = \frac{r"}{r}\).

\(\sqrt{9} = \frac{r"}{r}\) означает, что \(r" = 3r\).

Таким образом, если площадь круга увеличивается в 9 раз, то его радиус увеличится в 3 раза.