1. Какое расположение точек A(-5; 1) и B(3; -2) относительно окружности (x+2)²+(y-1)²=9? 2. Как записать уравнение

Romanovich

19

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Чтобы определить, какое расположение точек относительно данной окружности, нужно подставить координаты точек A и B в уравнение окружности и проверить. Для точки A(-5; 1):

\((x+2)²+(y-1)²=9\)
\((-5+2)²+(1-1)²=9\)
\((-3)²+0²=9\)
\(9+0=9\)

Поскольку левая и правая части равны, точка A лежит на окружности. Теперь проверим точку B(3; -2):

\((x+2)²+(y-1)²=9\)
\((3+2)²+(-2-1)²=9\)
\(5²+(-3)²=9\)
\(25+9=9\)

Здесь левая и правая части не равны, поэтому точка B лежит вне окружности.

2. Уравнение окружности записывается в виде \((x-a)²+(y-b)²=r²\), где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности. Для точки C(5; -3) и радиуса 6ед, уравнение окружности будет выглядеть так:

\((x-5)²+(y-(-3))²=6²\)
\((x-5)²+(y+3)²=36\)

3. Чтобы записать уравнение окружности с центром в точке B(-2; 1) и проходящей через точку A(0; -3), нужно воспользоваться формулой \((x-a)²+(y-b)²=r²\). Сначала найдем радиус окружности, используя расстояние между центром (B) и проходящей через окружность (A):

\[r = \sqrt{(-2-0)²+(1-(-3))²} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]

Теперь мы можем записать уравнение окружности:

\((x-(-2))²+(y-1)²=(2\sqrt{5})²\)
\((x+2)²+(y-1)²=20\)

4. Для записи уравнения окружности с диаметром MN, где точки M(-2; -1) и N(4; k), мы должны учесть, что диаметр - это отрезок, соединяющий две точки на окружности. Значит, точки M и N являются концами диаметра. Для начала найдем координату k точки N. Известно, что середина диаметра будет иметь среднее значение координат x и y точек M и N:

\(k = \frac{{(-1) + y_N}}{2}\)

\(k = \frac{{(-1) + k}}{2}\)

Решаем уравнение:

\(2k = -1 + k\)

\(k = -1\)

Теперь, зная координаты точек M и N, мы можем записать уравнение окружности. Центр окружности будет находиться в середине отрезка MN, а радиус - половина длины отрезка MN:

\(x_c = \frac{{-2 + 4}}{2} = 1\)
\(y_c = \frac{{-1 + (-1)}}{2} = -1\)
\(r = \frac{{МN}}{2} = \frac{{\sqrt{{(4 - (-2))² + ((-1) - (-1))²}}}}{2} = \frac{{\sqrt{{36 + 0}}}}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

Теперь составляем окончательное уравнение окружности:

\((x-1)²+(y-(-1))²=3²\)
\((x-1)²+(y+1)²=9\)

Я надеюсь, что мои объяснения и решения помогли вам лучше понять данные задачи по геометрии и уравнениям окружностей. Если у вас остались вопросы или нужна дополнительная помощь, пожалуйста, сообщите мне!