1) Какое расстояние d между прямыми cc1 и b1d1 в кубе abcda1b1c1d1? 2) Что представляет собой расстояние d между

Вечная_Зима

54

Рассмотрим каждую задачу в отдельности:

1) Для нахождения расстояния \(d\) между прямыми \(cc1\) и \(b1d1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) воспользуемся формулой для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
\[d = \frac{{|(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}) \cdot \mathbf{n}|}}{{|\mathbf{n}|}},\]
где \(\mathbf{r_1}\) и \(\mathbf{r_2}\) - произвольные точки на прямых \(cc1\) и \(b1d1\) соответственно, а \(\mathbf{n}\) - вектор, перпендикулярный обоим прямым.

Рассмотрим координаты вершин куба:
\(a(0, 0, 0)\), \(b(1, 0, 0)\), \(c(1, 1, 0)\), \(d(0, 1, 0)\), \(a1(0, 0, 1)\), \(b1(1, 0, 1)\), \(c1(1, 1, 1)\), \(d1(0, 1, 1)\).

Примем \(\mathbf{r_1} = c(1, 1, 0)\) и \(\mathbf{r_2} = b1(1, 0, 1)\). Тогда получаем вектор \(\mathbf{n}\) как векторное произведение векторов, соединяющих точки \(c\) и \(c1\), и точки \(b1\) и \(d1\):
\(\mathbf{n} = \mathbf{cc1} \times \mathbf{b1d1}\).

Вычислим координаты векторов \(\mathbf{cc1}\) и \(\mathbf{b1d1}\):
\(\mathbf{cc1} = \mathbf{c1} - \mathbf{c} = (1, 1, 1) - (1, 1, 0) = (0, 0, 1),\)
\(\mathbf{b1d1} = \mathbf{d1} - \mathbf{b1} = (0, 1, 1) - (1, 0, 1) = (-1, 1, 0).\)

Теперь найдем векторное произведение:
\(\mathbf{n} = \mathbf{cc1} \times \mathbf{b1d1} = (0, 0, 1) \times (-1, 1, 0) = (1, 1, 0).\)

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния \(d\):
\[d = \frac{{|(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}) \cdot \mathbf{n}|}}{{|\mathbf{n}|}} = \frac{{|(1, 1, 0) \cdot (1, 1, 0)|}}{{|1, 1, 0|}} = \frac{{|2|}}{{\sqrt{2}}} = \boxed{\sqrt{2}}.\]

Таким образом, расстояние \(d\) между прямыми \(cc1\) и \(b1d1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) равно \(\sqrt{2}\).

2) Расстояние \(d\) между прямыми \(ac\) и \(b1d1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) можно найти, используя ту же самую формулу для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
\[d = \frac{{|(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}) \cdot \mathbf{n}|}}{{|\mathbf{n}|}}.\]

Из предыдущей задачи мы уже нашли вектор \(\mathbf{n}\) - (1, 1, 0), поэтому остается только определить произвольные точки \(\mathbf{r_1}\) и \(\mathbf{r_2}\).

Примем \(\mathbf{r_1} = a(0, 0, 0)\) и \(\mathbf{r_2} = b1(1, 0, 1)\). Тогда подставляем значения в формулу:
\[d = \frac{{|(0, 0, 0) - (1, 0, 1) \cdot (1, 1, 0)|}}{{|1, 1, 0|}} = \frac{{|(-1, 0, -1) \cdot (1, 1, 0)|}}{{|1, 1, 0|}} = \frac{{|1|}}{{\sqrt{2}}} = \boxed{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}.\]

Таким образом, расстояние \(d\) между прямыми \(ac\) и \(b1d1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\).

3) Чтобы найти расстояние \(d\) между прямыми \(cc1\) и \(bd1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\), воспользуемся снова формулой для расстояния между скрещивающимися прямыми:
\[d = \frac{{|(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}) \cdot \mathbf{n}|}}{{|\mathbf{n}|}}.\]

Наши векторы уже известны: \(\mathbf{n} = (1, 1, 0)\). Остается только выбрать произвольные точки \(\mathbf{r_1}\) и \(\mathbf{r_2}\).

Примем \(\mathbf{r_1} = c1(1, 1, 1)\) и \(\mathbf{r_2} = b(1, 0, 0)\). Подставляем значения в формулу:
\[d = \frac{{|(1, 1, 1) - (1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0)|}}{{|1, 1, 0|}} = \frac{{|(0, 1, 1) \cdot (1, 1, 0)|}}{{|1, 1, 0|}} = \frac{{|1|}}{{\sqrt{2}}} = \boxed{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}.\]

Таким образом, расстояние \(d\) между прямыми \(cc1\) и \(bd1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\).

4) Для нахождения расстояния \(d\) между прямыми \(ab1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) также воспользуемся формулой для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
\[d = \frac{{|(\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}) \cdot \mathbf{n}|}}{{|\mathbf{n}|}}.\]

Здесь вектор \(\mathbf{n}\) не является тривиальным для данной задачи, поэтому нам нужно найти его.

Рассмотрим прямую \(ab1\). Она проходит через точки \(a(0, 0, 0)\) и \(b1(1, 0, 1)\).

Так как прямая \(ab1\) параллельна плоскости \(xy\), то вектор, перпендикулярный этой плоскости, будет коллинеарен прямой \(ab1\).

Значит, мы можем взять вектор, направленный от точки \(a\) до точки \(b1\), как наш вектор \(\mathbf{n}\).

Найдем вектор \(\mathbf{n}\):
\(\mathbf{n} = \mathbf{b1} - \mathbf{a} = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).\)

Теперь остается выбрать произвольные точки \(\mathbf{r_1}\) и \(\mathbf{r_2}\).

Примем \(\mathbf{r_1} = a(0, 0, 0)\) и \(\mathbf{r_2} = b1(1, 0, 1)\). Подставляем значения в формулу:
\[d = \frac{{|(0, 0, 0) - (1, 0, 1) \cdot (1, 0, 1)|}}{{|1, 0, 1|}} = \frac{{|(-1, 0, -1) \cdot (1, 0, 1)|}}{{|1, 0, 1|}} = \frac{{|1|}}{{\sqrt{2}}} = \boxed{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}.\]

Таким образом, расстояние \(d\) между прямыми \(ab1\) в кубе \(abcda1b1c1d1\) равно \(\frac{{\sqrt{2}}}{2}\).