1) Какое расстояние d между прямыми cc1 и b1d1 в кубе abcda1b1c1d1? 2) Что представляет собой расстояние d между

Вечная_Зима

54

Рассмотрим каждую задачу в отдельности:

1) Для нахождения расстояния $d$ между прямыми $cc1$ и $b1d1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ воспользуемся формулой для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
$$d=\frac{|({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|},$$
где ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}$ - произвольные точки на прямых $cc1$ и $b1d1$ соответственно, а $\mathbf{n}$ - вектор, перпендикулярный обоим прямым.

Рассмотрим координаты вершин куба:
$a(0,0,0)$, $b(1,0,0)$, $c(1,1,0)$, $d(0,1,0)$, $a1(0,0,1)$, $b1(1,0,1)$, $c1(1,1,1)$, $d1(0,1,1)$.

Примем ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}=c(1,1,0)$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}=b1(1,0,1)$. Тогда получаем вектор $\mathbf{n}$ как векторное произведение векторов, соединяющих точки $c$ и $c1$, и точки $b1$ и $d1$:
$\mathbf{n}=\mathbf{cc}\mathbf{1}\times \mathbf{b}\mathbf{1}\mathbf{d}\mathbf{1}$.

Вычислим координаты векторов $\mathbf{cc}\mathbf{1}$ и $\mathbf{b}\mathbf{1}\mathbf{d}\mathbf{1}$:
$\mathbf{cc}\mathbf{1}=\mathbf{c}\mathbf{1}-\mathbf{c}=(1,1,1)-(1,1,0)=(0,0,1),$
$\mathbf{b}\mathbf{1}\mathbf{d}\mathbf{1}=\mathbf{d}\mathbf{1}-\mathbf{b}\mathbf{1}=(0,1,1)-(1,0,1)=(-1,1,0).$

Теперь найдем векторное произведение:
$\mathbf{n}=\mathbf{cc}\mathbf{1}\times \mathbf{b}\mathbf{1}\mathbf{d}\mathbf{1}=(0,0,1)\times (-1,1,0)=(1,1,0).$

Теперь подставим все значения в формулу для расстояния $d$:
$$d=\frac{|({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{|(1,1,0)\cdot (1,1,0)|}{|1,1,0|}=\frac{|2|}{\sqrt{2}}=\boxed{{\displaystyle \sqrt{2}}}.$$

Таким образом, расстояние $d$ между прямыми $cc1$ и $b1d1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ равно $\sqrt{2}$.

2) Расстояние $d$ между прямыми $ac$ и $b1d1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ можно найти, используя ту же самую формулу для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
$$d=\frac{|({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}.$$

Из предыдущей задачи мы уже нашли вектор $\mathbf{n}$ - (1, 1, 0), поэтому остается только определить произвольные точки ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}$.

Примем ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}=a(0,0,0)$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}=b1(1,0,1)$. Тогда подставляем значения в формулу:
$$d=\frac{|(0,0,0)-(1,0,1)\cdot (1,1,0)|}{|1,1,0|}=\frac{|(-1,0,-1)\cdot (1,1,0)|}{|1,1,0|}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}.$$

Таким образом, расстояние $d$ между прямыми $ac$ и $b1d1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

3) Чтобы найти расстояние $d$ между прямыми $cc1$ и $bd1$ в кубе $abcda1b1c1d1$, воспользуемся снова формулой для расстояния между скрещивающимися прямыми:
$$d=\frac{|({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}.$$

Наши векторы уже известны: $\mathbf{n}=(1,1,0)$. Остается только выбрать произвольные точки ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}$.

Примем ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}=c1(1,1,1)$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}=b(1,0,0)$. Подставляем значения в формулу:
$$d=\frac{|(1,1,1)-(1,0,0)\cdot (1,1,0)|}{|1,1,0|}=\frac{|(0,1,1)\cdot (1,1,0)|}{|1,1,0|}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}.$$

Таким образом, расстояние $d$ между прямыми $cc1$ и $bd1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4) Для нахождения расстояния $d$ между прямыми $ab1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ также воспользуемся формулой для расстояния между двумя скрещивающимися прямыми:
$$d=\frac{|({\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}-{\mathbf{r}}_{\mathbf{2}})\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}.$$

Здесь вектор $\mathbf{n}$ не является тривиальным для данной задачи, поэтому нам нужно найти его.

Рассмотрим прямую $ab1$. Она проходит через точки $a(0,0,0)$ и $b1(1,0,1)$.

Так как прямая $ab1$ параллельна плоскости $xy$, то вектор, перпендикулярный этой плоскости, будет коллинеарен прямой $ab1$.

Значит, мы можем взять вектор, направленный от точки $a$ до точки $b1$, как наш вектор $\mathbf{n}$.

Найдем вектор $\mathbf{n}$:
$\mathbf{n}=\mathbf{b}\mathbf{1}-\mathbf{a}=(1,0,1)-(0,0,0)=(1,0,1).$

Теперь остается выбрать произвольные точки ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}$.

Примем ${\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}=a(0,0,0)$ и ${\mathbf{r}}_{\mathbf{2}}=b1(1,0,1)$. Подставляем значения в формулу:
$$d=\frac{|(0,0,0)-(1,0,1)\cdot (1,0,1)|}{|1,0,1|}=\frac{|(-1,0,-1)\cdot (1,0,1)|}{|1,0,1|}=\frac{|1|}{\sqrt{2}}=\boxed{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}.$$

Таким образом, расстояние $d$ между прямыми $ab1$ в кубе $abcda1b1c1d1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.