В четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной M, угол между смежными боковыми гранями равен arccos 1/18, а длина бокового

Летающий_Космонавт

35

Давайте начнем с поиска скалярного произведения векторов \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AB} \).

Сначала найдем вектор \( \overrightarrow{AM} \). Так как точка К является серединой ребра BM, то вектор \( \overrightarrow{AM} \) можно найти как половину вектора \( \overrightarrow{AB} \). Поскольку длина бокового ребра равна 1, вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен \( \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \).

Далее, чтобы найти вектор \( \overrightarrow{AB} \), можно воспользоваться известными координатами точек A и B. Пусть вектор \( \overrightarrow{AB} \) имеет координаты \( (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) \), где A(0,0,0) и B(1,0,0). Тогда вектор \( \overrightarrow{AB} \) равен (1-0, 0-0, 0-0) = (1, 0, 0).

Таким образом, вектор \( \overrightarrow{AM} \) равен \( \frac{1}{2} (1, 0, 0) = (\frac{1}{2}, 0, 0) \).

Теперь найдем вектор \( \overrightarrow{AB} \). Поскольку векторы \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AB} \) имеют только x-компоненты, скалярное произведение будет равно произведению соответсвующих компонент:

\[ \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = (\frac{1}{2}, 0, 0) \cdot (1, 0, 0) = \frac{1}{2} \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = \frac{1}{2} \]

Таким образом, скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AM} \) и \( \overrightarrow{AB} \) равно \( \frac{1}{2} \).

Теперь перейдем ко второй части задачи - нахождению длины вектора \( \overrightarrow{AB} \).

Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \). Подставляя координаты точек A и B, получим:

Длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) = \( \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1 \).

Таким образом, длина вектора \( \overrightarrow{AB} \) равна 1.