1. : Какое уравнение описывает прямую проходящую через точку Мо(1,2) и удаленную от точки А (-2, -5) в два раза дальше

Zvezda

1

1. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку M₀(1,2) и удаленной от точки А(-2, -5) в два раза дальше, чем от точки В(1,8), мы воспользуемся формулой расстояния между точкой и прямой.

Рассмотрим точку В(1,8) и точку А(-2, -5). Расстояние от точки М₀ до прямой (d) будет в два раза больше расстояния от М₀ до прямой, проходящей через А и В. Поэтому:
d = 2√[(x₀ - x₁)² + (y₀ - y₁)²], где (x₀, y₀) - координаты точки М₀, а (x₁, y₁) - координаты произвольной точки на прямой АВ.

В нашем случае, чтобы найти d, мы можем использовать точку А(-2, -5) и точку В(1,8). Подставим значения в формулу:

d = 2√[(-2 - 1)² + (-5 - 8)²]
d = 2√[(-3)² + (-13)²]
d = 2√[9 + 169]
d = 2√[178]
d = √(4 * 178)
d = 2√(89)

Теперь у нас есть расстояние d. Так как прямая должна проходить через точку М₀(1,2), мы можем использовать формулу уравнения прямой вида y - y₁ = k(x - x₁), где (x₁, y₁) - координаты точки М₀.

Подставим значения (1,2) в формулу:

y - 2 = k(x - 1)

Теперь воспользуемся уравнением прямой и найдем значение k, используя расстояние d:

2√(89) = k(1 - (-2))
2√(89) = 3k
k = (2√(89))/3

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку М₀(1,2) и удаленной от точки А(-2, -5) в два раза дальше, чем от точки В(1,8), будет:

y - 2 = [(2√(89))/3](x - 1)

2. Чтобы найти уравнение прямой, которая находится на расстоянии корень(10) от точки А(5,4) и перпендикулярна прямой 2х+6y-3=0, мы воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой и свойством перпендикулярных прямых.

Первым делом, найдем уравнение прямой 2х+6y-3=0 в форме y = mx + b:

6y = -2x + 3
y = (-1/3)x + 1/2

Здесь угловой коэффициент (m) этой прямой равен (-1/3), что означает, что перпендикулярный угловой коэффициент будет равен обратному значения, то есть 3/1.

Теперь воспользуемся формулой расстояния между точкой и прямой:

d = |Ax + By + C| / √(A² + B²), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, а (x, y) - координаты произвольной точки.

В нашем случае, у нас есть точка А(5,4) и расстояние d = корень(10). Подставим значения в формулу:

√(10) = |5(3) + 4(1) + C| / √((3)² + (1)²)
√(10) = |15 + 4 + C| / √(9 + 1)
√(10) = |19 + C| / √10

Теперь избавимся от корня в числителе, возведя обе части уравнения в квадрат:

10 = (19 + C)² / 10

Раскроем скобки:

10 = (19 + C)(19 + C) / 10
100 = 19² + 2(19)(C) + C²

Приведем подобные члены:

100 = 361 + 38C + C²

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду:

C² + 38C + 261 = 0

Это квадратное уравнение не имеет действительных решений, так как дискриминант отрицательный.

Таким образом, уравнение прямой, которая находится на расстоянии корень(10) от точки А(5,4) и перпендикулярна прямой 2х+6y-3=0, не имеет действительных решений.