1) Каков объем параллелепипеда, если его все грани являются равными ромбами со стороной 14 см и острым углом в 45°?

Krasavchik

21

Задача 1:
Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема параллелепипеда. Объем параллелепипеда определяется как произведение площади основания на высоту.

1) Ромб имеет все стороны равными, поэтому площадь его основания равна: \( S = a^2 \), где а - сторона ромба.

У нас дан ромб со стороной 14 см, поэтому: \( S = 14^2 = 196 \) см².

2) Высота параллелепипеда равна высоте ромба. Отличительной особенностью ромба является то, что он может быть разделен на два равных равнобедренных треугольника, каждый из которых имеет угол 45°. Так как мы знаем, что угол в треугольнике равен 180°, то острый угол в треугольнике равен 90°. Это означает, что у нас получается прямоугольный треугольник со сторонами 14, 14 и \( 14\sqrt{2} \).

3) Величину высоты параллелепипеда, а также размер основания, можно определить по сторонам равнобедренного треугольника. Поскольку основание ромба является диагональю этого треугольника, то оно равно \( 2a = 2 \cdot 14 = 28 \) см.

Теперь мы можем применить формулу для объема параллелепипеда: \( V = S \cdot h \) , где \( V \) - объем параллелепипеда, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота.

Подставляем значения: \( V = 196 \cdot 28 \) = 5488 см³.

Ответ: объем параллелепипеда составляет 5488 см³.

Задача 2:
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу для объема пирамиды. Объем пирамиды вычисляется как произведение площади основания на треть ее высоты.

1) Высота пирамиды равна 30 см, поэтому \( h = 30 \) см.

2) Основание пирамиды образовано апофемой и плоскостью основания пирамиды. Апофема является высотой прямоугольного треугольника (его катетом), а у нас имеется угол между апофемой и плоскостью основания, равный 30°.

3) Можно использовать формулу для площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta) \), где a и b - стороны треугольника, а \(\theta\) - угол между этими сторонами.

Основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник, так как все его стороны равны высоте апофемы, и угол между сторонами равен 30°.

4) Подставим значения в формулу для площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \cdot \sin(30°) \).

Вычисляем значение синуса угла 30°: \( \sin(30°) = \frac{1}{2} \).

Вычисляем площадь основания пирамиды: \( S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = 225 \) см².

5) Теперь мы можем применить формулу для объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h \), где \( V \) - объем пирамиды, \( S \) - площадь основания, \( h \) - высота.

Подставляем значения: \( V = \frac{1}{3} \cdot 225 \cdot 30 \) = 2250 см³.

Ответ: объем пирамиды составляет 2250 см³.