1.) Каков объем прямоугольной треугольной призмы, у которой все боковые грани являются квадратами со стороной

Sofya

43

1.) Для нахождения объема прямоугольной треугольной призмы нужно умножить площадь одной из боковых граней на высоту.

У нас дано, что все боковые грани являются квадратами со стороной 5 см. Площадь квадрата можно найти по формуле:
\[S = a^2,\]
где \(a\) - длина стороны.

Заметим, что в прямоугольной треугольной призме две боковые грани имеют форму прямоугольного треугольника, а третья соответствует основанию призмы и является квадратом. Поэтому площадь одной из прямоугольных треугольных боковых граней равна:
\[S_{\text{сторона}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}.\]

Так как все ребра равны и составляют прямой угол, то основание такого треугольника будет иметь длину 5 см, а его высота будет равна 5 см.

Теперь можем рассчитать площадь одной из боковых граней:
\[S_{\text{сторона}} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{см} \times 5 \, \text{см} = 12.5 \, \text{см}^2.\]

Так как боковых граней 3, то общая площадь боковых граней будет равна:
\[S_{\text{бок}} = 3 \times 12.5 \, \text{см}^2 = 37.5 \, \text{см}^2.\]

Так как боковые грани прямоугольной треугольной призмы являются квадратами, то площадь основания будет соответствовать площади боковых граней, то есть:
\[S_{\text{осн}} = 37.5 \, \text{см}^2.\]

Теперь можем найти объем призмы умножением площади одной из боковых граней на высоту:
\[V = S_{\text{осн}} \times \text{высота} = 37.5 \, \text{см}^2 \times \text{высота}.\]

Однако в задаче высота не указана, поэтому ответом будет формула для объема с неизвестной высотой:
\[V = 37.5 \, \text{см}^2 \times \text{высота}.\]

2.) У нас есть правильная треугольная призма, у которой площадь основания и одной из боковых граней равны 43.

Площадь основания правильной треугольной призмы можно найти по формуле:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2,\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

Так как это правильная треугольная призма, у которой все стороны равны, то площадь основания можно представить как:
\[S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 = 43.\]

Отсюда найдем длину стороны треугольника:
\[a^2 = \frac{43 \times 4}{\sqrt{3}}.\]
\[a = \sqrt{\frac{43 \times 4}{\sqrt{3}}}.\]

Теперь можем рассчитать объем призмы умножением площади основания на высоту:
\[V = S_{\text{осн}} \times \text{высота} = 43 \times \text{высота}.\]

Однако в задаче не указана высота, поэтому ответом будет формула для объема с неизвестной высотой:
\[V = 43 \times \text{высота}.\]

3.) Мы имеем правильную треугольную призму ABCA1B1C1, у которой все ребра равны 1. Нам нужно найти угол между прямыми AA1 и CB1.

Воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя прямыми в пространстве:
\[\cos{\theta} = \frac{{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}},\]
где \(\theta\) - искомый угол, \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\) - векторы, направления которых соответствуют данным прямым.

Прямая AA1 проходит через вершины A и A1 призмы. Ее направление можно определить, зная координаты этих точек.

Вершины A и A1 имеют координаты (0, 0, 0) и (0, 0, 1) соответственно. Таким образом, вектор \(\vec{u}\), направление прямой AA1, будет равен:
\[\vec{u} = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1).\]

Прямая CB1 проходит через вершины C и B1 призмы. Ее направление можно также определить, зная координаты этих точек.

Вершины C и B1 имеют координаты (1, 0, 0) и (0, 1, 1) соответственно. Таким образом, вектор \(\vec{v}\), направление прямой CB1, будет равен:
\[\vec{v} = (1, 0, 0) - (0, 1, 0) = (1, -1, 0).\]

Теперь можем рассчитать угол \(\theta\) с использованием формулы для косинуса:
\[\cos{\theta} = \frac{{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}}{{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}}.\]

Вычислим значения числителя и знаменателя:
\(|\vec{u} \cdot \vec{v}| = |(0, 0, 1) \cdot (1, -1, 0)| = |0 - 0 + 0| = 0,\)
\( |\vec{u}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1,\)
\(|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}.\)

Подставим полученные значения в формулу косинуса:
\[\cos{\theta} = \frac{{0}}{{1 \cdot \sqrt{2}}} = 0.\]

Поскольку \(\cos{\theta} = 0\), то угол \(\theta\) будет равен 90 градусам.

Ответ: Угол между прямыми AA1 и CB1 в правильной треугольной призме ABCA1B1C1, у которой все ребра равны 1, равен 90 градусам.