1. Каков путь, пройденный точкой с момента начала движения до остановки, если уравнение движения точки по оси ОХ задано

Саранча

22

Конечно! Я с удовольствием помогу вам с решением задач. Давайте начнем:

1. Для решения этой задачи нам дано уравнение движения точки \(x = 2 + 3t - t^2\) в метрах. Чтобы найти путь, пройденный точкой, нам необходимо интегрировать это уравнение по времени от начального момента движения до момента остановки.

Давайте найдем первообразную этого уравнения. Для этого проинтегрируем каждый член уравнения по отдельности:

\[
\int x \, dt = \int (2 + 3t - t^2) \, dt
\]

\[
\frac{1}{2}x^2 = 2t + \frac{3}{2}t^2 - \frac{1}{3}t^3 + C
\]

где \(C\) - произвольная постоянная.

Теперь, чтобы найти путь, пройденный точкой от начального момента движения до остановки, подставим значения времени в это уравнение. При остановке точки значение времени будет равно \(t_{stop}\), а путь, пройденный точкой, будет равен \(x_{stop}\). Таким образом, получаем:

\[
\frac{1}{2}x_{stop}^2 = 2t_{stop} + \frac{3}{2}t_{stop}^2 - \frac{1}{3}t_{stop}^3 + C
\]

2. Для решения второй задачи нам дан график изменения угловой скорости твердого тела вокруг оси \(OZ\). Мы должны найти модуль максимального углового ускорения.

Для этого нам нужно найти производную угловой скорости по времени и найти максимальное значение этой производной.

Поскольку угловая скорость является производной угла поворота тела, угловое ускорение будет являться производной угловой скорости по времени. Обозначим угловую скорость как \(\omega\) и угловое ускорение как \(\alpha\).

На основе графика угловой скорости, мы можем записать функциональную зависимость:

\[
\omega = f(t)
\]

где \(t\) - время, а \(f(t)\) - функция, заданная графиком.

Чтобы найти угловое ускорение, возьмем производную от угловой скорости по времени:

\[
\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}}
\]

3. В третьей задаче нам сказано, что на тело массы \(m\) действует сила \(F\), и нам нужно найти ускорение точки, если модуль силы и массы тела увеличиваются в два раза.

Это можно решить с использованием второго закона Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение.

Известно, что сила \(F\) увеличивается в два раза, то есть \(F" = 2F\). Масса тела \(m\) тоже увеличивается в два раза, то есть \(m" = 2m\).

Таким образом, новое ускорение \(a"\) можно выразить через изначальное ускорение \(a\) следующим образом:

\[
F" = m" \cdot a" \quad \Rightarrow \quad 2F = 2m \cdot a" \quad \Rightarrow \quad a" = a
\]

Таким образом, ускорение точки не изменится при увеличении модуля силы и массы в два раза.

4. В четвертой задаче нам сказано, что импульсы двух шайб, движущихся по осям \(x\) и \(y\), равны по модулю.

Импульс \(p\) определяется как произведение массы тела на его скорость.

Из условия задачи следует, что импульсы двух шайб равны:

\(p_x = p_y\)

Вектор импульса \(p\) определяется как \((p_x, p_y)\). Если мы знаем модуль импульса, мы можем записать:

\[
|p_x| = |p_y| \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(p_x)^2} = \sqrt{(p_y)^2}
\]

Таким образом, модули импульсов двух шайб, движущихся по осям \(x\) и \(y\), равны по модулю.