1. Каков результат суммирования кубов нечетных натуральных чисел от 1 до 100: 1^3+3^3+5^3+...+99^3? 2. Какие

Akula

14

1. Для того чтобы найти сумму кубов нечетных натуральных чисел от 1 до 100, нам нужно сложить кубы каждого нечетного числа в данном диапазоне. Начнем с первого нечетного числа, которое равно 1. Возведем его в куб: \(1^3 = 1\). Следующее нечетное число - 3, возведем его в куб: \(3^3 = 27\). Продолжим этот процесс для всех нечетных чисел от 1 до 99.

Мы можем заметить, что сумма кубов двух последовательных нечетных чисел равна квадрату суммы этих чисел. Таким образом, \((1^3 + 3^3) = (1 + 3)^2 = 4^2 = 16\). Аналогично, \((5^3 + 7^3) = (5 + 7)^2 = 12^2 = 144\). Мы можем продолжать этот процесс до 99.

Теперь нам остается только просуммировать все полученные кубы:

\[1^3 + 3^3 + 5^3 + ... + 99^3 = 16 + 144 + ... + 970,299.\]

Более подробная информация:
- \(16 = (1^3 + 3^3) = (1 + 3)^2 = 4^2\)
- \(144 = (5^3 + 7^3) = (5 + 7)^2 = 12^2\)
- ...
- \(970,299 = (95^3 + 97^3 + 99^3) = (95 + 97 + 99)^2 = 291^2\)

Таким образом, сумма кубов нечетных натуральных чисел от 1 до 100 равна 970,299.

2. Чтобы найти все трехзначные числа, у которых квадрат заканчивается тремя цифрами, равными самому числу, мы можем перебрать все трехзначные числа и проверить, выполняется ли указанное условие.

Трехзначные числа имеют вид XYZ, где X, Y и Z обозначают цифры. Мы должны найти такие значения X, Y и Z, чтобы выполнить условие \((100X + 10Y + Z)^2 \equiv XYZ \mod{1000}\), где \(\equiv\) обозначает "сравнимо по модулю". То есть, квадрат трехзначного числа должен иметь последние три цифры XYZ, которые равны самому числу.

Путем перебора всех трехзначных чисел, мы находим следующие числа, удовлетворяющие заданному условию:
- 376
- 625

Таким образом, два трехзначных числа, у которых квадрат заканчивается тремя цифрами, равными самому числу, это 376 и 625.