1) Каков угол между диагоналями параллелепипеда, которые принадлежат одному диагональному сечению, если диагональ

Плюшка

1

Перейдем к решению задачи.

1) Для начала, давайте обозначим сторону основания параллелепипеда как \(a\). Тогда длина диагонали (диагональ прямоугольного параллелепипеда) составит \(2a\).

Согласно поставленной задаче, нам дано, что диагональ прямоугольного параллелепипеда в два раза больше стороны основания. То есть, у нас имеется равенство:

\[2a = 2 \cdot a\]

Теперь рассмотрим диагонали параллелепипеда, которые принадлежат одному диагональному сечению. Эти диагонали будут являться боковыми ребрами параллелепипеда и диагональю сечения. Давайте обозначим угол между боковой диагональю и диагональю сечения как \(x\).

Мы можем применить косинусную теорему для треугольника. В данном случае, треугольник образуется боковой диагональю, диагональю сечения и боковой гранью параллелепипеда. Косинус тогда равен отношению длины боковой диагонали к длине диагонали сечения.

\[\cos(x) = \frac{a}{2a}\]

Сокращаем на \(a\):

\[\cos(x) = \frac{1}{2}\]

Теперь нам нужно найти значение угла \(x\). Возьмем арккосинус от обеих частей равенства:

\[x = \arccos\left(\frac{1}{2}\right)\]

Подставим эту формулу в калькулятор и найдем значение угла \(x\).

2) Теперь рассмотрим углы между диагоналями параллелепипеда, которые принадлежат разным диагональным сечениям. Здесь также обозначим угол между ними как \(y\).

В этом случае мы имеем дело с двумя парами диагоналей сечения, которые лежат на разных гранях параллелепипеда. Давайте вспомним формулу для угла между векторами:

\[\cos(y) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|}\]

Где \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) - это векторы, соответствующие диагоналям сечения. Из постановки задачи видно, что диагонали являются сторонами квадрата, поэтому их длины равны и составляют \(a\). Таким образом, обозначив \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) как \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) соответственно, мы получим:

\[\cos(y) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|}\]

Мы можем упростить эту формулу, заметив, что векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\) являются перпендикулярными, так как лежат на разных диагоналях сечения. Поэтому, их скалярное произведение будет равно нулю:

\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\]

Таким образом, весь числитель обращается в ноль, и угол \(y\) будет равен \(90^\circ\).

3) Нам даны перпендикуляр и наклонная к плоскости, и известно, что их разность составляет 25 см. Пусть \(d\) обозначает длину наклонной, а \(h\) - длину перпендикуляра.

Из геометрии мы знаем, что перпендикуляр и наклонная к одной плоскости образуют прямоугольный треугольник. Таким образом, можем применить теорему Пифагора:

\[d^2 = h^2 + (h+25)^2\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[d^2 = h^2 + h^2 + 50h + 625\]

Суммируем:

\[d^2 = 2h^2 + 50h + 625\]

Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно \(d^2\). Теперь решим его, используя квадратные корни:

\[d = \sqrt{2h^2 + 50h + 625}\]