1. Каков угол между линией KM и плоскостью DMC в правильной четырехугольной пирамиде MABCD, где углы при вершине

Людмила

62

1. Для решения этой задачи нам понадобятся знания о правильных четырехугольных пирамидах и о свойствах углов.

Сначала давайте посмотрим на пирамиду MABCD. У нас есть углы при вершине M, которые равны 60°. Мы также знаем, что точка K делит сторону AD в отношении 1:3, начиная от точки A.

Мы можем рассмотреть треугольник AMK, чтобы найти угол KMA. Треугольник AMK - равнобедренный, так как KM и KA - это две стороны равной длины из-за отношения 1:3. Угол KMA - это угол при вершине M в равнобедренном треугольнике, который равен 60°, так же как и угол A.

Теперь мы можем посмотреть на треугольник DMC. Этот треугольник также является равнобедренным, так как угол DMC равен 60°, а угол MDC - это угол при вершине D, который также равен углу A. Таким образом, угол DMC также равен 60°.

Чтобы найти угол между линией KM и плоскостью DMC, мы можем рассмотреть треугольник KMD. У нас есть два из трех углов этого треугольника: угол KMD равен углу KMA, который равен 60°, и угол DMC, который также равен 60°. Таким образом, третий угол, угол KDM, равен 180° - 60° - 60° = 60°.

Ответ: Угол между линией KM и плоскостью DMC равен 60°.

2.а) Чтобы построить сечение куба плоскостью B¹KP, нам нужно учесть, что точка K делит ребро AD в отношении 1:2, а точка P является серединой ребра DC.

Мы можем провести линию с точки B¹ до точки K, чтобы получить отрезок B¹K. Затем мы соединяем точку B² (середина ребра BB¹) с точкой K и получаем отрезок B²K.

Теперь, чтобы построить плоскость B¹KP, мы проводим линии через эти точки B¹, K и B², чтобы они пересекли другие стороны куба. Таким образом, мы получаем плоскость, которая пересекает куб по отрезкам B¹K, B²K и соответствующим сторонам.

б) Чтобы найти величину угла B¹(KP)B, мы можем рассмотреть треугольник B¹KP.

У нас есть две стороны треугольника: B¹K и KP, и мы знаем, что точка P является серединой ребра DC, поэтому DP = PC. Это означает, что у нас есть две равные стороны KP и PC. Также известно, что B¹K - это диагональ грани куба.

Мы можем использовать свойства треугольника, зная, что все углы прямые в кубе. Таким образом, у нас есть прямой угол у вершины B, угол BKP и угол KPB, которые в сумме дают 180°.

Так как угол у вершины B равен 90°, угол BKP и угол KPB также будут равными и составят по 45°.

в) Плоскость сечения B¹KP пересекает куб по линиям B¹K, B²K и соответствующим сторонам куба.

Ответ: а) Для построения сечения плоскостью B¹KP, нужно соединить точки B¹, K и B².
б) Величина угла B¹(KP)B равна 45°.
в) Плоскость сечения - это плоскость, которая пересекает куб по линиям B¹K, B²K и соответствующим сторонам куба.

3. Чтобы найти угол между лучом, исходящим из точки K к плоскости ромба, нам понадобятся знания о свойствах ромба.

Мы знаем, что в ромбе ABCD сторона равна 6 и угол A равен 60°. У нас также есть информация о точке K, которая находится на стороне CD и делит ее в отношении 2:1.

Мы можем рассмотреть треугольник KDC. У нас есть две из его сторон: CK = 2 и KD = 1. Мы также знаем угол D, который равен 60°, так как он равен углу A.

Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти угол между лучом, исходящим из точки K к плоскости ромба. В треугольнике KDC, угол KDC - это искомый угол.

\[\sin(KDC) = \frac{CK}{KD}\cdot\sin(DKC)\]

Таким образом, \[\sin(KDC) = \frac{2}{1}\cdot\sin(60°) = 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\]

Теперь нам нужно найти сам угол KDC. Мы можем использовать обратную функцию синуса для нахождения угла:

\[KDC = \arcsin(\sqrt{3})\]

Ответ: Угол между лучом, исходящим из точки K к плоскости ромба, равен \(\arcsin(\sqrt{3})\).