1. Какова циклическая частота колебаний маленького кубика, движущегося внутри сферической емкости (см. рисунок

Сэр

13

Чтобы определить циклическую частоту колебаний маленького кубика, движущегося внутри сферической емкости без трения, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии.

Первым шагом мы должны определить положение равновесия для маленького кубика внутри сферической емкости. Поскольку внутренняя поверхность сферической емкости является полой, маленький кубик будет находиться в равновесии посередине, на равном удалении от центра сферы.

Применяя закон сохранения механической энергии, мы можем записать, что механическая энергия системы в любой точке колебаний должна быть равна механической энергии в положении равновесия. Таким образом, энергия кинетическая + энергия потенциальная = энергия в положении равновесия.

Энергия кинетическая определяется как \(E_k = \frac{1}{2} m v^2\), где m - масса кубика, v - его скорость. Энергия потенциальная гравитационная равна \(E_p = m g h\), где g - ускорение свободного падения, h - высота, на которую поднялся кубик от положения равновесия.

В положении равновесия кубик не имеет кинетической энергии, поэтому \(E_k = 0\). Тогда энергия в положении равновесия будет равна только гравитационной энергии: \(E_p = m g R\), где R - радиус сферы.

Когда кубик находится на максимальном удалении от положения равновесия, его скорость равна 0. Пусть в этот момент кубик находится на высоте h относительно положения равновесия. Тогда его потенциальная энергия будет равна \(E_p = m g (R + h)\).

Следовательно, по закону сохранения механической энергии:

\[\frac{1}{2} m v^2 + m g h = m g R + m g (R + h)\]

Сокращаем массу кубика и g:

\[\frac{1}{2} v^2 + h = R + R + h\]

Упрощаем:

\[\frac{1}{2} v^2 = 2R\]

Из выражения выше мы можем найти скорость кубика в момент максимального удаления от положения равновесия:

\[v = \sqrt{4R}\]

Теперь мы можем использовать определение циклической частоты \( \omega \) (в радианах в секунду):

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

где T - период колебаний.

Период колебаний можно выразить через скорость и расстояние, которое проходит кубик за период колебаний:

\(T = \frac{2s}{v}\), где s - расстояние между положением равновесия и максимальным удалением.

Поскольку полный путь кубика составляет двойной путь от положения равновесия до максимального удаления, то \( s = 2h\).

Теперь мы можем записать выражение для периода колебаний:

\(T = \frac{4h}{v}\)

Подставим выражение для скорости \( v = \sqrt{4R} \):

\(T = \frac{4h}{\sqrt{4R}}\)

Упростим:

\(T = \sqrt{\frac{h^2}{R}}\)

Теперь мы можем найти циклическую частоту:

\(\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{h^2}{R}}}\)

Сокращаем:

\(\omega = \frac{2\pi R}{h}\)

Таким образом, циклическая частота колебаний маленького кубика внутри сферической емкости без трения равна \( \frac{2\pi R}{h}\).

Относительно ускорения свободного падения, оно не влияет на циклическую частоту колебаний маленького кубика. Ускорение свободного падения \( g \) составляет примерно 9.8 м/с² на поверхности Земли.