1) Какова длина стороны правильного многоугольника, около которого описана окружность радиусом 8√2 см? 2) Сколько

Котенок

53

Для этой задачи нам потребуется знание свойств правильных многоугольников и окружностей. Давайте решим ее пошагово, чтобы все было понятно.

1) Какова длина стороны правильного многоугольника, около которого описана окружность радиусом \(8\sqrt{2}\) см?

Для начала, давайте вспомним некоторые важные свойства правильных многоугольников. У правильного многоугольника все стороны и углы равны. Также, стороны правильного многоугольника равноудалены от его центра.

Поскольку у нас есть описанная окружность радиусом \(8\sqrt{2}\) см, мы сможем использовать это знание для определения длины стороны многоугольника.

Для начала, найдем диагональ многоугольника, которая является радиусом описанной окружности. Радиус описанной окружности является гипотенузой прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора, мы можем найти длину этой диагонали:

\[
\text{длина диагонали} = 2 \times \text{радиус описанной окружности} = 2 \times 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \text{ см}
\]

Далее, поскольку у нас правильный многоугольник, длина стороны многоугольника будет равна длине диагонали, поделенной на \(\sqrt{2}\):

\[
\text{длина стороны} = \frac{\text{длина диагонали}}{\sqrt{2}} = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16 \text{ см}
\]

Итак, длина стороны правильного многоугольника, около которого описана окружность с радиусом \(8\sqrt{2}\) см, равна 16 см.

2) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, в который вписана окружность радиусом 8 см?

Если внутри многоугольника можно вписать окружность, то все его стороны будут касаться этой окружности. Таким образом, чтобы определить количество сторон в многоугольнике, нам необходимо найти количество точек касания между окружностью и сторонами многоугольника.

Сначала посчитаем длину стороны многоугольника, так как она равна диаметру вписанной окружности. Диаметр равен удвоенному радиусу, то есть \(2 \times 8 = 16\) см.

Теперь рассмотрим точку на окружности и ее соседнюю точку на многоугольнике, соединив их отрезком. Этот отрезок будет являться касательной к окружности. Таким образом, каждая сторона многоугольника будет касаться окружности, и, следовательно, количество сторон будет равно количеству таких касательных.

Каждый угол многоугольника образуется касательной и радиусом, и внутри многоугольника сумма всех углов будет составлять \(180^\circ \times (n - 2)\), где \(n\) - количество сторон многоугольника.

В правильном многоугольнике все углы равны, поэтому каждый угол многоугольника будет равен \(\frac{180^\circ \times (n - 2)}{n}\).

Мы знаем, что внутренний угол правильного шестиугольника равен \(120^\circ\), так как \(n = 6\).

Получаем уравнение:

\[
\frac{180^\circ \times (n - 2)}{n} = 120^\circ
\]

Решая это уравнение, мы найдем количество сторон \(n\) многоугольника:

\[
180^\circ \times (n - 2) = 120^\circ \times n
\]

\[
180^\circ \times n - 360^\circ = 120^\circ \times n
\]

\[
60^\circ \times n = 360^\circ
\]

\[
n = \frac{360^\circ}{60^\circ}
\]

\[
n = 6
\]

Итак, правильный многоугольник, в который вписана окружность радиусом 8 см, имеет 6 сторон.