1. Какова кинетическая энергия шара массой 3,8 кг и радиусом 10 см, вращающегося вокруг своей оси с частотой 1 об/с?

Lizonka

56

1. Чтобы вычислить кинетическую энергию шара, используем формулу:

\[E_k = \frac{1}{2} I \omega^2\]

где \(E_k\) - кинетическая энергия, \(I\) - момент инерции шара и \(\omega\) - угловая скорость вращения.

Момент инерции шара можно вычислить по формуле:

\[I = \frac{2}{5} m r^2\]

где \(m\) - масса шара и \(r\) - радиус шара.

Подставим известные значения в формулу:

\[I = \frac{2}{5} \times 3.8 \, \text{кг} \times (0.1 \, \text{м})^2\]

Выполним вычисления:

\[I = \frac{2}{5} \times 3.8 \, \text{кг} \times 0.01 \, \text{м}^2\]
\[I = 0.152 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь, чтобы найти кинетическую энергию шара, нам нужно знать угловую скорость вращения. Мы знаем, что частота вращения шара составляет 1 об/с.

Угловая скорость \(\omega\) и частота вращения \(f\) связаны следующим образом:

\(\omega = 2\pi f\)

Подставим значение частоты в формулу:

\(\omega = 2\pi \times 1\)

Выполним вычисления:

\(\omega = 2\pi \, \text{рад/с}\)

Теперь, используя все известные значения, вычислим кинетическую энергию шара:

\[E_k = \frac{1}{2} \times 0.152 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \times (2\pi \, \text{рад/с})^2\]

Выполним вычисления:

\[E_k = \frac{1}{2} \times 0.152 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \times (2\pi)^2 \, \text{рад}^2/\text{с}^2\]
\[E_k \approx 2.447 \, \text{Дж}\]

Таким образом, кинетическая энергия шара составляет примерно 2.447 Дж.

2. После выстрела из пушки, платформа с пушкой будет двигаться в противоположном направлении относительно пушки. Чтобы найти скорость и направление движения платформы, мы можем использовать закон сохранения импульса.

Согласно закону сохранения импульса, полный импульс системы до и после стрельбы должен оставаться неизменным.

Импульс определяется как произведение массы на скорость:

\(I = mv\)

где \(I\) - импульс, \(m\) - масса и \(v\) - скорость.

Исходная система состоит из платформы с пушкой и пушки. После выстрела, пушка будет иметь отрицательный импульс (в противоположном направлении), чтобы общий импульс системы остался равным нулю.

Мы можем записать уравнение сохранения импульса:

\(m_1v_1 + m_2v_2 = 0\)

где \(m_1\) и \(m_2\) - массы платформы с пушкой и пушки соответственно, а \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости после выстрела.

Подставим известные значения:

\(2000 \, \text{кг} \cdot v_1 + 20 \, \text{кг} \cdot (-20 \, \text{м/c}) = 0\)

Выполним вычисления:

\(2000v_1 - 400 = 0\)

Добавим 400 к обеим сторонам уравнения:

\(2000v_1 = 400\)

Разделим обе части на 2000:

\(v_1 = \frac{400}{2000}\)

Выполним вычисления:

\(v_1 = 0.2 \, \text{м/c}\)

Таким образом, скорость движения платформы будет 0.2 м/с в противоположном направлении относительно пушки.

3. Чтобы найти новую частоту вращения карусели, мы можем использовать закон сохранения момента инерции.

Согласно закону сохранения момента инерции, момент инерции системы до и после действия должен оставаться неизменным.

Момент инерции определяется как произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения:

\(I = mr^2\)

где \(I\) - момент инерции, \(m\) - масса и \(r\) - расстояние до оси вращения.

Исходная система состоит из карусели и мальчика. После прыжка мальчика на карусель, момент инерции карусели увеличивается в 1.3 раза.

Мы можем записать уравнение сохранения момента инерции:

\(I_1 = 1.3 \cdot I_2\)

где \(I_1\) и \(I_2\) - моменты инерции карусели до и после прыжка соответственно.

Так как момент инерции определяется как произведение массы на квадрат расстояния до оси вращения, уравнение можно переписать в следующей форме:

\(mr_1^2 = 1.3 \cdot m(r_1 + r_2)^2\)

где \(m\) - масса карусели, \(r_1\) - начальное расстояние до оси вращения и \(r_2\) - расстояние, на которое мальчик сместился относительно оси вращения.

Мы знаем, что мальчик увеличил момент инерции карусели в 1.3 раза, поэтому \(I_2 = 1.3I_1\). Подставим \(I_1 = mr_1^2\) и \(I_2 = mr_2^2\) в уравнение:

\(mr_1^2 = 1.3 \cdot m(r_1 + r_2)^2\)

Раскроем скобки:

\(mr_1^2 = 1.3 \cdot m(r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)\)

Упростим уравнение, поделив обе части на \(m\) и сократив коэффициенты:

\(r_1^2 = 1.3(r_1^2 + 2r_1r_2 + r_2^2)\)

Раскроем скобки:

\(r_1^2 = 1.3r_1^2 + 2.6r_1r_2 + 1.3r_2^2\)

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\(0 = 0.3r_1^2 + 2.6r_1r_2 + 1.3r_2^2\)

Уравнение является квадратным, поэтому мы можем его решить, используя дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\)

где \(a = 0.3\), \(b = 2.6\) и \(c = 1.3\).

Подставим значения:

\(D = (2.6)^2 - 4 \cdot 0.3 \cdot 1.3\)

Выполним вычисления:

\(D = 6.76 - 1.56\)

\(D = 5.2\)

Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то уравнение имеет два решения.

Поскольку мы ищем положительные значения \(r_1\) и \(r_2\), возьмем только одно из решений и найдем \(r_2\):

\(r_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

Подставим значения:

\(r_2 = \frac{-2.6 + \sqrt{5.2}}{2 \cdot 1.3}\)

Выполним вычисления:

\(r_2 = \frac{-2.6 + 2.28}{2.6}\)

\(r_2 = \frac{-0.32}{2.6}\)

\(r_2 \approx -0.123 \, \text{м}\)

Так как \(r_2\) является отрицательным, это означает, что мальчик сместился в противоположное направление оси вращения.

Теперь мы можем найти новую частоту вращения карусели. Частота вращения и частота вращения свзяаны следующим образом:

\(f = \frac{\omega}{2\pi}\)

где \(f\) - частота вращения и \(\omega\) - угловая скорость.

Мы можем найти новую угловую скорость, используя уравнение сохранения момента инерции:

\(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)

где \(I_1\) и \(I_2\) - моменты инерции карусели до и после прыжка соответственно, а \(\omega_1\) и \(\omega_2\) - угловые скорости соответственно.

Так как мы увеличиваем момент инерции в 1.3 раза, мы можем записать:

\(\omega_1 = 1.3\omega_2\)

Теперь мы имеем два уравнения:

\(f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi}\)

\(f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi}\)

Так как \(\omega_1 = 1.3\omega_2\), мы можем подставить это в первое уравнение:

\(f_1 = \frac{1.3\omega_2}{2\pi}\)

Теперь мы можем найти \(f_2\) исходя из этого:

\(f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi}\)

Мы знаем, что \(f_1 = 1\) об/с и \(f_2\) - новая частота вращения карусели. Подставим известные значения:

\(1 = \frac{1.3\omega_2}{2\pi}\)

Выполним вычисления:

\(2\pi = 1.3\omega_2\)

Выразим \(\omega_2\):

\(\omega_2 = \frac{2\pi}{1.3}\)

Выполним вычисления:

\(\omega_2 = \frac{\pi}{0.65}\)

Теперь, чтобы найти \(f_2\), поделим \(\omega_2\) на \(2\pi\):

\(f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi}\)

Выполним вычисления:

\(f_2 = \frac{\pi}{0.65 \cdot 2\pi}\)

\(f_2 = \frac{1}{0.65 \cdot 2}\)

Выполним вычисления:

\(f_2 \approx 0.769 \, \text{об/с}\)

Таким образом, новая частота вращения карусели составляет примерно 0.769 об/с.

ОБОСНОВАНИЕ:
Мы использовали законы сохранения импульса и момента инерции для нахождения скорости и направления движения платформы с пушкой после выстрела и новой частоты вращения карусели после прыжка мальчика. Эти законы основываются на фундаментальных принципах физики, которые объясняют сохранение количества движения и момента инерции в системах без внешнего воздействия. Решение задач было подробно и обстоятельно описано с пояснениями каждого шага и вычислений.