1) Какова масса второго спутника, если два искусственных спутника движутся вокруг однородной сферической планеты

Sladkaya_Ledi

43

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, по которому сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Пусть \(m_1\) - масса первого спутника, \(m_2\) - масса второго спутника, \(r_1\) - радиус орбиты первого спутника и \(r_2\) - радиус орбиты второго спутника.

Так как оба спутника движутся по круговым орбитам с одинаковой по модулю силой, мы можем сделать следующее предположение: сила притяжения, действующая на каждый спутник, равна среднему значению притяжения между планетой и первым спутником и притяжению между планетой и вторым спутником.

Сила притяжения между двумя телами может быть выражена следующим образом:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

Где \(F\) - сила притяжения, \(G\) - гравитационная постоянная, равная приближенно \(6.674 \times 10^{-11}\, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между ними.

Поскольку силы притяжения равны, мы можем записать:

\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r_1^2} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r_2^2}\]

Сокращая \(G\), \(m_1\) и \(m_2\) из обеих сторон уравнения, мы получаем:

\[\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{r_2^2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r_2\):

\[\frac{1}{r_1^2} = \frac{1}{r_2^2}\]

\[r_2^2 = r_1^2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[r_2 = \sqrt{r_1^2}\]

\[r_2 = r_1\]

Таким образом, радиус орбиты второго спутника равен радиусу орбиты первого спутника.

Теперь нам известно, что радиус орбиты второго спутника составляет 1600 км, а масса первого спутника равна 50 кг. Поэтому \(r_2 = 1600\) км и \(m_1 = 50\) кг.

Из нашего предположения, что силы притяжения равны, мы можем записать:

\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r_1^2} = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r_2^2}\]

Подставляем известные значения:

\[6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{50 \cdot m_2}{(800 \times 10^3)^2} = 6.674 \times 10^{-11} \cdot \frac{50 \cdot m_2}{(1600 \times 10^3)^2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(m_2\):

\[800^2 = 1600^2\]

\[640000 = 2560000\]

Уравнение верно, поэтому масса второго спутника также равна 50 кг.