1. Какова площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота составляет 6, а двугранные углы при основании равны 60°?

Летучая

17

Для решения задачи посчитаем площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} P \cdot h \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( P \) - периметр основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

1. Для начала, нам нужно найти периметр основания пирамиды. У нас двугранные углы при основании равны 60°, что говорит о том, что основание пирамиды - равносторонний треугольник. Поэтому, периметр основания равен тройному значению стороны:

\[ P = 3 \cdot a \]

где \( a \) - длина стороны основания.

2. Определим высоту пирамиды \( h \), которая равна 6.

3. Подставим значения в формулу для нахождения площади:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot 6 \]

\[ S = 9a \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 9a \).

Итак, ответ на первый вопрос: площадь боковой поверхности пирамиды равна \( 9a \).

Теперь перейдем ко второй задаче. Для нахождения объема правильной треугольной пирамиды используем формулу:

\[ V = \frac{1}{3} B \cdot h \]

где \( V \) - объем, \( B \) - площадь основания, \( h \) - высота пирамиды.

1. Нам дано, что апофема пирамиды равна 2√6 и образует угол 45° с плоскостью. Поэтому, площадь основания можно найти по формуле:

\[ B = \frac{1}{2} a \cdot a_{\text{полезности}} \]

где \( a \) - длина стороны основания, \( a_{\text{полезности}} \) - апофема основания.

2. Нашей задачей является нахождение объема, поэтому нам необходимо узнать высоту пирамиды \( h \). Дано, что апофема пирамиды образует угол 45° с плоскостью, таким образом, можно построить прямоугольный треугольник, в котором апофема будет гипотенузой, и угол 45° будет примыкающим катетом. Поэтому, по теореме Пифагора, получаем:

\[ h^2 = (a_{\text{полезности}})^2 - a^2 \]

3. В нашей задаче дано значение апофемы \( a_{\text{полезности}} = 2√6 \), поэтому подставим его в формулу:

\[ h^2 = (2√6)^2 - a^2 \]

\[ h^2 = 24 - a^2 \]

4. Подставим значения в формулу для нахождения объема:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a \cdot a_{\text{полезности}} \cdot \sqrt{24 - a^2} \]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды равен \( \frac{1}{6} a \cdot a_{\text{полезности}} \cdot \sqrt{24 - a^2} \).

Перейдем к третьей задаче. Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, воспользуемся формулой:

\[ S = P \cdot l \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности, \( P \) - периметр основания пирамиды, \( l \) - апофема боковой грани пирамиды.

1. У нас данные о высоте пирамиды \( h = 3 \) и объеме пирамиды \( V \), но нам нужно найти периметр основания пирамиды. Связь между объемом, высотой и площадью основания пирамиды можно выразить следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} B \cdot h = \frac{1}{3} P \cdot a \cdot h \]

где \( B \) - площадь основания, \( P \) - периметр основания, \( a \) - длина стороны основания.

2. Нам дано, что объем пирамиды равен \( V \). Подставим это значение в связь между объемом, высотой и площадью основания:

\[ \frac{1}{3} P \cdot a \cdot h = V \]

3. Площадь основания можно выразить через периметр и апофему основания по формуле:

\[ B = \frac{1}{2} P \cdot l \]

где \( l \) - длина апофемы основания.

4. Теперь мы имеем два уравнения:

\[ \frac{1}{3} P \cdot a \cdot h = V \]
\[ B = \frac{1}{2} P \cdot l \]

Мы хотим найти площадь боковой поверхности, поэтому нам нужно выразить периметр основания через апофему и решить уравнения.

5. Подставим выражение для площади основания в первое уравнение:

\[ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} P \cdot l \cdot h = V \]

6. Теперь выразим периметр:

\[ P = \frac{2V}{lh} \]

7. Подставим полученное значение периметра в формулу для площади боковой поверхности:

\[ S = P \cdot l \]

\[ S = \frac{2V}{lh} \cdot l \]

\[ S = \frac{2V}{h} \]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \( \frac{2V}{h} \).

Итак, ответ на третий вопрос: площадь боковой поверхности пирамиды равна \( \frac{2V}{h} \).