1. Какова площадь поверхности пирамиды MABCD, если ее основанием является квадрат ABCD со стороной a=6, а ребро

Ярило_928

56

Задача 1:
Первым шагом определим высоту пирамиды. Так как ребро MD перпендикулярно плоскости основания и задано основание ABCD со стороной a=6, то ребро MD является высотой пирамиды.

Далее, чтобы найти площадь поверхности пирамиды MABCD, нам необходимо учесть площадь основания и площадь всех боковых поверхностей.

Площадь основания (положим её равной S) можно найти по формуле площади квадрата: S = a^2. Заменяя a на значение 6, получаем S = 6^2 = 36.

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Поскольку MADC - это треугольник, который является одной из боковых поверхностей пирамиды, мы можем использовать формулу площади треугольника: S = 0.5 * b * h, где b - основание треугольника, а h - высота. Так как данное основание является стороной a=6 квадрата ABCD, то b также равно 6. Чтобы найти высоту h, воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике MCD, где MC - это половина длины диагонали квадрата ABCD, а CD - это сторона квадрата. Можно заметить, что MCD является прямоугольным треугольником. Поэтому применим теорему Пифагора: MC^2 = MD^2 - CD^2. Заменяя значения, получаем (0.5 * a)^2 = MD^2 - a^2. Так как a=6 и MD - искомая высота пирамиды, можно записать (0.5 * 6)^2 = MD^2 - 6^2. Решая и приводя уравнение к виду MD^2 = ..., найдем MD = √(MD^2) = √(6^2 - (0.5 * 6)^2) = √(36 - 9) = √27 = 3√3.

Теперь найдем площадь треугольника MCD: S = 0.5 * b * h = 0.5 * 6 * 3√3 = 9√3.

Наконец, найдем площадь боковой поверхности пирамиды, учитывая, что пирамида MABCD имеет четыре боковых поверхности одинаковой площади: Sбок = 4 * S = 4 * 9√3 = 36√3.

Площадь поверхности пирамиды MABCD составляет сумму площади основания и площади боковой поверхности, то есть Sпов = S + Sбок = 36 + 36√3 = 36(1 + √3) квадратных единиц.

Таким образом, площадь поверхности пирамиды MABCD равна 36(1 + √3) квадратных единиц.

Задача 2:
а) Для определения меньшей высоты параллелограмма ABCD, нам необходимо использовать теорему синусов.

Заметим, что параллелограмм ABCD - это прямоугольный треугольник ACD, так как острый угол равен 45°. Также, AB = CD и BC = AD.

Обозначим меньшую высоту параллелограмма как h. Тогда, применив теорему синусов в треугольнике ACD, получим:

h / sin 45° = AD / sin 90°,

h = AD * sin 45°.

Заметим, что sin 45° = 1 / √2. Тогда,

h = AD * (1 / √2) = AD / √2 = AD * √2 / 2.

Обратимся к сторонам параллелограмма ABCD. Мы знаем, что AD = BC = 8√2.

Подставляя это значение в формулу, получаем:

h = 8√2 * √2 / 2 = 8.

Значит, меньшая высота параллелограмма ABCD равна 8.

б) Для нахождения угла между плоскостью АВС1 и плоскостью основания, можно воспользоваться формулой косинуса угла между двумя плоскостями.

Обозначим угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания как α.

Тогда, используя формулу косинуса угла между плоскостями, получим:

cos α = (ABCD)^2 / (ABCD1)^2,

где (ABCD) - площадь параллелограмма ABCD, (ABCD1) - площадь параллелограмма ABCD1.

Заметим, что площадь параллелограмма ABCD равна произведению стороны на высоту: ABCD = AB * h.

Также, площадь параллелограмма ABCD1 равна произведению стороны на высоту: ABCD1 = AB * h1.

Тогда,

cos α = (AB * h)^2 / (AB * h1)^2 = h^2 / h1^2,

cos α = 8^2 / h1^2 = 64 / h1^2.

Теперь, чтобы найти угол α, возьмем обратный косинус от полученного значения cos α:

α = arccos (64 / h1^2).

Таким образом, угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания равен arccos (64 / h1^2).

в) Площадь боковой поверхности параллелепипеда можно найти, применив формулу: Sбок = 2 * (AB + AD) * h,

где AB и AD - стороны параллелепипеда, h - меньшая высота параллелограмма.

Подставим значения сторон и меньшей высоты в формулу:

Sбок = 2 * (8√2 + 16) * 8 = 2 * (8√2 + 16) * 8 = 128√2 + 256.

Таким образом, площадь боковой поверхности параллелепипеда составляет 128√2 + 256.

г) Площадь поверхности параллелепипеда можно найти, используя формулу: Sпов = 2 * (AB * AD + AB * h + AD * h).

Подставляя значения сторон и меньшей высоты в формулу, получим:

Sпов = 2 * (8√2 * 16 + 8√2 * 8 + 16 * 8) = 2 * (128√2 + 64√2 + 128) = 384√2 + 256.

Таким образом, площадь поверхности параллелепипеда составляет 384√2 + 256.