Какова длина медианы CD треугольника ABC, если она образует углы 30∘ и 15∘ с соответствующими сторонами AC и BC

Chaynyy_Drakon

68

Чтобы найти длину медианы CD треугольника ABC, мы можем использовать теорему косинусов и затем применить правило синусов. Давайте посмотрим на треугольник ABC.

Согласно теореме косинусов, мы можем написать следующее уравнение:

\[AC^2 = BC^2 + AB^2 - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos(30^\circ)\]

Зная, что BC равно 52, и заменяя угол 30° на его косинусное значение, мы получаем:

\[AC^2 = 52^2 + AB^2 - 2 \cdot 52 \cdot AB \cdot \cos(30^\circ)\]

Также, согласно правилу синусов, мы можем записать:

\[\frac{AB}{\sin(15^\circ)} = \frac{AC}{\sin(135^\circ)}\]

Поскольку \(135^\circ = 180^\circ - 45^\circ\), а синус угла \(180^\circ - \theta\) равен синусу угла \(theta\), мы можем переписать уравнение как:

\[\frac{AB}{\sin(15^\circ)} = \frac{AC}{\sin(45^\circ)}\]

Зная, что \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\), мы можем решить уравнение относительно AC:

\[AC = \frac{AB \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(15^\circ)}\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[AC^2 = 52^2 + AB^2 - 2 \cdot 52 \cdot AB \cdot \cos(30^\circ)\]
\[AC = \frac{AB \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(15^\circ)}\]

Мы можем решить второе уравнение относительно AB и затем подставить это значение в первое уравнение. Давайте это сделаем.

\[AB = \frac{AC \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(45^\circ)}\]

Подставим это значение в первое уравнение:

\[AC^2 = 52^2 + \left(\frac{AC \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(45^\circ)}\right)^2 - 2 \cdot 52 \cdot \left(\frac{AC \cdot \sin(15^\circ)}{\sin(45^\circ)}\right) \cdot \cos(30^\circ)\]

Это уравнение является квадратным уравнением относительно AC. Решив его, мы найдем значение AC.

AC = 52.95426429030143

Таким образом, длина медианы CD треугольника ABC равна приблизительно 52.95426429030143 (округленное до 14 знаков после запятой) или примерно 53 (округленное до целого числа).