Каков радиус окружности, описывающей равносторонний треугольник, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник

Загадочная_Сова

23

Чтобы найти радиус окружности, описывающей равносторонний треугольник, нам понадобится знание свойств этого треугольника. Равносторонний треугольник имеет все стороны равными и все углы равными 60 градусам.

Сначала найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Зная, что радиус вписанной окружности имеет одинаковый размер для всех трех сторон треугольника, мы можем воспользоваться формулой для нахождения радиуса вписанной окружности:

\[r_{в} = \frac{a}{2\sqrt{3}}\]

где \(r_{в}\) - радиус вписанной окружности, \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника.

Теперь, чтобы найти радиус окружности, описывающей треугольник, мы можем использовать формулу, связывающую радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности:

\[r_{о} = 2 \cdot r_{в}\]

где \(r_{о}\) - радиус описанной окружности, \(r_{в}\) - радиус вписанной окружности.

Таким образом, чтобы найти радиус описанной окружности, мы просто удвоим значение радиуса вписанной окружности.

Итак, для равностороннего треугольника с радиусом вписанной окружности \(r_{в}\), радиус описанной окружности будет:

\[r_{о} = 2 \cdot \left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)\]

Теперь давайте рассмотрим пример, где длина стороны равностороннего треугольника равна 6.

Найдем радиус вписанной окружности:

\[r_{в} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[r_{о} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\]

Таким образом, для равностороннего треугольника со стороной длиной 6, радиус описанной окружности составляет \(2\sqrt{3}\).

В общем случае, радиус описанной окружности для равностороннего треугольника с длиной стороны \(a\) будет равен \(2\sqrt{3} \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = a\).