1) Какова площадь поверхности шара, если полная поверхность куба составляет 1170/π? 2) Чему равен объем шара с радиусом

Raduzhnyy_Uragan

19

Задача 1:
Для решения этой задачи нам понадобится знать, что поверхность шара состоит из трех частей - двух полусфер и кругового диска. Давайте начнем с поиска радиуса шара.

Полная поверхность куба равна \(1170/\pi\). Мы знаем, что каждая грань куба - это квадрат, и общая площадь шести граней будет равна \(6a^2\), где \(a\) - длина стороны куба.

Таким образом, у нас есть уравнение:
\[6a^2 = \frac{1170}{\pi}\]

Давайте найдем длину стороны куба:
\[a^2 = \frac{1170}{6\pi}\]
\[a^2 = \frac{195}{\pi}\]
\[a = \sqrt{\frac{195}{\pi}}\]

Теперь, когда у нас есть длина стороны куба, мы можем найти радиус шара. Радиус шара равен половине диагонали куба, поэтому:
\[r = \frac{a}{2}\]
\[r = \frac{\sqrt{\frac{195}{\pi}}}{2}\]

Теперь мы можем найти площадь поверхности шара. Площадь поверхности шара равна сумме площадей двух полусфер и кругового диска. Формула для площади поверхности шара:
\[S = 2 \pi r^2 + \pi r^2\]
\[S = 2\pi \left(\frac{\sqrt{\frac{195}{\pi}}}{2}\right)^2 + \pi \left(\frac{\sqrt{\frac{195}{\pi}}}{2}\right)^2\]
\[S = \pi \left(\frac{195}{\pi}\right) + \pi \left(\frac{195}{\pi}\right)\]
\[S = 2 \cdot 195\]
\[S = 390\]

Итак, площадь поверхности шара равна 390.

Задача 2:
Объем шара можно найти, используя формулу \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\), где \(r\) - радиус шара.

Мы знаем, что радиус шара равен 6 см. Подставим это значение в формулу и рассчитаем объем:
\[V = \frac{4}{3} \pi (6^3)\]
\[V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216\]
\[V = \frac{4}{3} \cdot 216 \pi\]
\[V = 288 \pi\]

Итак, объем шара с радиусом 6 см равен \(288 \pi\) кубических сантиметров.

Задача 3:
Чтобы найти объем цилиндра, нам нужно знать формулу для объема цилиндра. Формула для объема цилиндра - это площадь основания, умноженная на высоту цилиндра: \(V = S \cdot h\), где \(S\) - площадь основания, \(h\) - высота цилиндра.

У нас есть диагональ осевого сечения цилиндра и угол, который она образует с основанием. Если мы рассмотрим плоскость, проходящую через эту диагональ и основание, мы увидим треугольник. Мы можем использовать это, чтобы найти площадь основания.

Для начала найдем сторону основания треугольника. Так как угол между диагональю и основанием равен 60 градусов, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 30 градусов. По теореме Пифагора, сторона основания равна:
\[a = \frac{d}{\sqrt{3}}\]
\[a = \frac{5}{\sqrt{3}}\]

Теперь мы можем найти площадь основания:
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2\]
\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(\frac{25}{3}\right)\]
\[S = \frac{25\sqrt{3}}{12}\]

Теперь мы можем найти объем цилиндра, умножив площадь основания на высоту цилиндра. Но у нас нет информации о высоте цилиндра, поэтому мы не можем найти точный объем цилиндра без этой информации. Необходимо получить дополнительные данные для решения этой задачи.