1. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершину b и середины

  • 3
1. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершину b и середины cd и b1c1?
2. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершины a1, b и середину ребра c1d1?
3. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc?
4. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через середины ребер ad, ab и bb1?
Kosmicheskaya_Charodeyka
40
Конечно, я могу помочь решить задачи. Давайте вместе разберемся.

1. Для начала посмотрим на единичный куб. В нем имеется вершина b и середины ребер cd и b1c1. Чтобы найти площадь сечения, сформируем плоскость, проходящую через эти точки.

Для этого мы можем использовать понятие векторного произведения. Возьмем векторы от точки b к точкам cd и b1c1. Затем найдем их векторное произведение. Модуль этого вектора будет площадью сечения.

Площадь=|bd×bb1c1|

Теперь посчитаем:

bd=cdcb=(0.5,0.5,1)(0.5,0,1)=(0,0.5,0)

bb1c1=b1c1bb=(0,1,0)(0.5,0,1)=(0.5,1,1)

bd×bb1c1=(0,0.5,0)×(0.5,1,1)=(00.5,00,0.5(0))=(0.5,0,0.5)

Теперь найдем модуль этого вектора:

Площадь=|(0.5,0,0.5)|=(0.5)2+02+(0.5)2=0.50.71

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершину b и середины cd и b1c1, примерно равна 0.71 квадратному единице.

2. Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через вершины a1, b и середину ребра c1d1. Аналогично предыдущей задаче, найдем векторное произведение двух векторов и его модуль:

Площадь=|a1b×c1d1|

Вычислим:

a1b=ba1=(0.5,0,1)(0,0,0)=(0.5,0,1)

c1d1=d1c1=(1,1,0.5)(1,1,0)=(0,0,0.5)

a1b×c1d1=(0.5,0,1)×(0,0,0.5)=(00,10.500,00.50.50)=(0,0.5,0)

Посчитаем модуль этого вектора:

Площадь=|(0,0.5,0)|=02+0.52+02=0.5

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершины a1, b и середину ребра c1d1, равна 0.5 квадратной единице.

3. Перейдем к задаче о плоскости, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc. Снова воспользуемся векторным произведением:

Площадь=|a1c1×dc|

Произведем вычисления:

a1c1=c1a1=(1,1,0)(0,0,0)=(1,1,0)

dc=cd=(1,0,0)(0.5,0.5,1)=(0.5,0.5,1)

a1c1×dc=(1,1,0)×(0.5,0.5,1)=(101(0.5),(1)(1)00.5,1(0.5)10)=(0.5,1,0.5)

Найдем модуль этого вектора:

Площадь=|(0.5,1,0.5)|=0.52+(1)2+(0.5)2=21.41

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc, примерно равна 1.41 квадратной единице.

4. Наконец, рассмотрим плоскость, проходящую через середины ребер ad, ab и bb1. Снова воспользуемся векторным произведением:

Площадь=|ad×ab×bb1|

Вычислим:

ad=da=(0.5,0.5,1)(0,0,0)=(0.5,0.5,1)

ab=ba=(0.5,0,1)(0,0,0)=(0.5,0,1)

bb1=b1b=(0,1,0)(0.5,0,1)=(0.5,1,1)

ad×ab×bb1=(0.5,0.5,1)×(0.5,0,1)×(0.5,1,1)

ad×ab×bb1=(0.5,0.5,1)×(0.5,0,1)×(0.5,1,1)=(0,1.5,1)×(0.5,1,1)

ad×ab×bb1 = (0.5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1.5, (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0.5, 1.5 \cdot 0.5 - (-1) \cdot 0)

ad×ab×bb1=(0.51.5,1(0.5),0.75)=(2,1.5,0.75)

Найдем модуль этого вектора:

Площадь=|(2,1.5,0.75)|=(2)2+1.52+0.752=10.6253.26

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через середины ребер ad, ab и bb1, примерно равна 3.26 квадратным единицам.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.