1. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершину b и середины

Kosmicheskaya_Charodeyka

40

Конечно, я могу помочь решить задачи. Давайте вместе разберемся.

1. Для начала посмотрим на единичный куб. В нем имеется вершина b и середины ребер cd и b1c1. Чтобы найти площадь сечения, сформируем плоскость, проходящую через эти точки.

Для этого мы можем использовать понятие векторного произведения. Возьмем векторы от точки b к точкам cd и b1c1. Затем найдем их векторное произведение. Модуль этого вектора будет площадью сечения.

$$Площадь=|\overrightarrow{bd}\times \overrightarrow{bb1c1}|$$

Теперь посчитаем:

$\overrightarrow{bd}=\overrightarrow{cd}-\overrightarrow{cb}=(0.5,0.5,1)-(0.5,0,1)=(0,0.5,0)$

$\overrightarrow{bb1c1}=\overrightarrow{b1c1}-\overrightarrow{bb}=(0,1,0)-(0.5,0,1)=(-0.5,1,-1)$

$\overrightarrow{bd}\times \overrightarrow{bb1c1}=(0,0.5,0)\times (-0.5,1,-1)=(0-0.5,0-0,-0.5-(-0))=(-0.5,0,-0.5)$

Теперь найдем модуль этого вектора:

$Площадь=|(-0.5,0,-0.5)|=\sqrt{(-0.5{)}^2+0^2+(-0.5{)}^2}=\sqrt{0.5}\approx 0.71$

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершину b и середины cd и b1c1, примерно равна 0.71 квадратному единице.

2. Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через вершины a1, b и середину ребра c1d1. Аналогично предыдущей задаче, найдем векторное произведение двух векторов и его модуль:

$$Площадь=|\overrightarrow{a1b}\times \overrightarrow{c1d1}|$$

Вычислим:

$\overrightarrow{a1b}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a1}=(0.5,0,1)-(0,0,0)=(0.5,0,1)$

$\overrightarrow{c1d1}=\overrightarrow{d1}-\overrightarrow{c1}=(1,1,0.5)-(1,1,0)=(0,0,0.5)$

$\overrightarrow{a1b}\times \overrightarrow{c1d1}=(0.5,0,1)\times (0,0,0.5)=(0-0,1\cdot 0.5-0\cdot 0,0\cdot 0.5-0.5\cdot 0)=(0,0.5,0)$

Посчитаем модуль этого вектора:

$Площадь=|(0,0.5,0)|=\sqrt{0^2+{0.5}^2+0^2}=0.5$

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершины a1, b и середину ребра c1d1, равна 0.5 квадратной единице.

3. Перейдем к задаче о плоскости, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc. Снова воспользуемся векторным произведением:

$$Площадь=|\overrightarrow{a1c1}\times \overrightarrow{dc}|$$

Произведем вычисления:

$\overrightarrow{a1c1}=\overrightarrow{c1}-\overrightarrow{a1}=(1,1,0)-(0,0,0)=(1,1,0)$

$\overrightarrow{dc}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d}=(1,0,0)-(0.5,0.5,1)=(0.5,-0.5,-1)$

$\overrightarrow{a1c1}\times \overrightarrow{dc}=(1,1,0)\times (0.5,-0.5,-1)=(1\cdot 0-1\cdot (-0.5),(-1)\cdot (-1)-0\cdot 0.5,1\cdot (-0.5)-1\cdot 0)=(0.5,-1,-0.5)$

Найдем модуль этого вектора:

$Площадь=|(0.5,-1,-0.5)|=\sqrt{{0.5}^2+(-1{)}^2+(-0.5{)}^2}=\sqrt{2}\approx 1.41$

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc, примерно равна 1.41 квадратной единице.

4. Наконец, рассмотрим плоскость, проходящую через середины ребер ad, ab и bb1. Снова воспользуемся векторным произведением:

$$Площадь=|\overrightarrow{ad}\times \overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{bb1}|$$

Вычислим:

$\overrightarrow{ad}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a}=(0.5,0.5,1)-(0,0,0)=(0.5,0.5,1)$

$\overrightarrow{ab}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=(0.5,0,1)-(0,0,0)=(0.5,0,1)$

$\overrightarrow{bb1}=\overrightarrow{b1}-\overrightarrow{b}=(0,1,0)-(0.5,0,1)=(-0.5,1,-1)$

$\overrightarrow{ad}\times \overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{bb1}=(0.5,0.5,1)\times (0.5,0,1)\times (-0.5,1,-1)$

$\overrightarrow{ad}\times \overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{bb1}=(0.5,0.5,1)\times (0.5,0,1)\times (-0.5,1,-1)=(0,1.5,-1)\times (-0.5,1,-1)$

$\overrightarrow{ad}\times \overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{bb1}$ = (0.5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1.5, (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0.5, 1.5 \cdot 0.5 - (-1) \cdot 0)

$\overrightarrow{ad}\times \overrightarrow{ab}\times \overrightarrow{bb1}=(-0.5-1.5,1-(-0.5),0.75)=(-2,1.5,0.75)$

Найдем модуль этого вектора:

$Площадь=|(-2,1.5,0.75)|=\sqrt{(-2{)}^2+{1.5}^2+{0.75}^2}=\sqrt{10.625}\approx 3.26$

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через середины ребер ad, ab и bb1, примерно равна 3.26 квадратным единицам.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.