1. Какова площадь сечения единичного куба, которое образуется плоскостью, проходящей через вершину b и середины

Kosmicheskaya_Charodeyka

40

Конечно, я могу помочь решить задачи. Давайте вместе разберемся.

1. Для начала посмотрим на единичный куб. В нем имеется вершина b и середины ребер cd и b1c1. Чтобы найти площадь сечения, сформируем плоскость, проходящую через эти точки.

Для этого мы можем использовать понятие векторного произведения. Возьмем векторы от точки b к точкам cd и b1c1. Затем найдем их векторное произведение. Модуль этого вектора будет площадью сечения.

\[Площадь = | \overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{bb1c1} |\]

Теперь посчитаем:

\(\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{cd} - \overrightarrow{cb} = (0.5, 0.5, 1) - (0.5, 0, 1) = (0, 0.5, 0)\)

\(\overrightarrow{bb1c1} = \overrightarrow{b1c1} - \overrightarrow{bb} = (0, 1, 0) - (0.5, 0, 1) = (-0.5, 1, -1)\)

\(\overrightarrow{bd} \times \overrightarrow{bb1c1} = (0, 0.5, 0) \times (-0.5, 1, -1) = (0 - 0.5, 0 - 0, -0.5 - (-0)) = (-0.5, 0, -0.5)\)

Теперь найдем модуль этого вектора:

\(Площадь = |(-0.5, 0, -0.5)| = \sqrt{(-0.5)^2 + 0^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5} \approx 0.71\)

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершину b и середины cd и b1c1, примерно равна 0.71 квадратному единице.

2. Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через вершины a1, b и середину ребра c1d1. Аналогично предыдущей задаче, найдем векторное произведение двух векторов и его модуль:

\[Площадь = | \overrightarrow{a1b} \times \overrightarrow{c1d1} |\]

Вычислим:

\(\overrightarrow{a1b} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a1} = (0.5, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, 0, 1)\)

\(\overrightarrow{c1d1} = \overrightarrow{d1} - \overrightarrow{c1} = (1, 1, 0.5) - (1, 1, 0) = (0, 0, 0.5)\)

\(\overrightarrow{a1b} \times \overrightarrow{c1d1} = (0.5, 0, 1) \times (0, 0, 0.5) = (0 - 0, 1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0, 0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0) = (0, 0.5, 0)\)

Посчитаем модуль этого вектора:

\(Площадь = |(0, 0.5, 0)| = \sqrt{0^2 + 0.5^2 + 0^2} = 0.5\)

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через вершины a1, b и середину ребра c1d1, равна 0.5 квадратной единице.

3. Перейдем к задаче о плоскости, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc. Снова воспользуемся векторным произведением:

\[Площадь = | \overrightarrow{a1c1} \times \overrightarrow{dc} |\]

Произведем вычисления:

\(\overrightarrow{a1c1} = \overrightarrow{c1} - \overrightarrow{a1} = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)\)

\(\overrightarrow{dc} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{d} = (1, 0, 0) - (0.5, 0.5, 1) = (0.5, -0.5, -1)\)

\(\overrightarrow{a1c1} \times \overrightarrow{dc} = (1, 1, 0) \times (0.5, -0.5, -1) = (1 \cdot 0 - 1 \cdot (-0.5), (-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 0.5, 1 \cdot (-0.5) - 1 \cdot 0) = (0.5, -1, -0.5)\)

Найдем модуль этого вектора:

\(Площадь = |(0.5, -1, -0.5)| = \sqrt{0.5^2 + (-1)^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{2} \approx 1.41\)

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образованного плоскостью, проходящей через вершины a1, c1 и середину ребра dc, примерно равна 1.41 квадратной единице.

4. Наконец, рассмотрим плоскость, проходящую через середины ребер ad, ab и bb1. Снова воспользуемся векторным произведением:

\[Площадь = | \overrightarrow{ad} \times \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{bb1} |\]

Вычислим:

\(\overrightarrow{ad} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} = (0.5, 0.5, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, 0.5, 1)\)

\(\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = (0.5, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0.5, 0, 1)\)

\(\overrightarrow{bb1} = \overrightarrow{b1} - \overrightarrow{b} = (0, 1, 0) - (0.5, 0, 1) = (-0.5, 1, -1)\)

\(\overrightarrow{ad} \times \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{bb1} = (0.5, 0.5, 1) \times (0.5, 0, 1) \times (-0.5, 1, -1)\)

\(\overrightarrow{ad} \times \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{bb1} = (0.5, 0.5, 1) \times (0.5, 0, 1) \times (-0.5, 1, -1) = (0, 1.5, -1) \times (-0.5, 1, -1)\)

\(\overrightarrow{ad} \times \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{bb1}\) = (0.5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1.5, (-1) \cdot (-1) - (-1) \cdot 0.5, 1.5 \cdot 0.5 - (-1) \cdot 0)

\(\overrightarrow{ad} \times \overrightarrow{ab} \times \overrightarrow{bb1} = (-0.5 - 1.5, 1 - (-0.5), 0.75) = (-2, 1.5, 0.75)\)

Найдем модуль этого вектора:

\(Площадь = |(-2, 1.5, 0.75)| = \sqrt{(-2)^2 + 1.5^2 + 0.75^2} = \sqrt{10.625} \approx 3.26\)

Таким образом, площадь сечения единичного куба, образуемого плоскостью, проходящей через середины ребер ad, ab и bb1, примерно равна 3.26 квадратным единицам.

Надеюсь, объяснение было понятным и полезным для вас. Если у вас возникли дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.